Реши номер 465

Задача 465: Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если каждый угол равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°? Пошаговое решение: - Пусть многоугольник имеет n сторон. Сумма внутренних углов равна (n − 2) · 180°. - Так как все углы равны и равны A, каждый угол равен A, значит n · A = (n − 2) · 180°. - Отсюда nA = 180n − 360 → 360 = n(180 − A) → n = 360 / (180 − A). Теперь подставим A для каждого пункта: а) A = 90° - n = 360 / (180 − 90) = 360 / 90 = 4 - ответ: 4 стороны (квадрат). б) A = 60° - n = 360 / (180 − 60) = 360 / 120 = 3 - ответ: 3 стороны (равносторонний треугольник). в) A = 120° - n = 360 / (180 − 120) = 360 / 60 = 6 - ответ: 6 сторон (шестиугольник). г) A = 108° - n = 360 / (180 − 108) = 360 / 72 = 5 - ответ: 5 сторон (пятугольник). Итог: - а) 4 - б) 3 - в) 6 - г) 5 Замечание: задача не требует условие равенства длин сторон; достаточно, что углы равны, тогда можно применить формулу для суммы углов любого выпуклого n-угольника.