реши номер 465

Задача 465: Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если каждый угол равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°?

Пошаговое решение:

• Пусть многоугольник имеет n сторон. Сумма внутренних углов равна (n − 2) · 180°.
• Так как все углы равны и равны A, каждый угол равен A, значит n · A = (n − 2) · 180°.
• Отсюда nA = 180n − 360 → 360 = n(180 − A) → n = 360 / (180 − A).

Теперь подставим A для каждого пункта:

а) A = 90°

• n = 360 / (180 − 90) = 360 / 90 = 4
• ответ: 4 стороны (квадрат).

б) A = 60°

• n = 360 / (180 − 60) = 360 / 120 = 3
• ответ: 3 стороны (равносторонний треугольник).

в) A = 120°

• n = 360 / (180 − 120) = 360 / 60 = 6
• ответ: 6 сторон (шестиугольник).

г) A = 108°

• n = 360 / (180 − 108) = 360 / 72 = 5
• ответ: 5 сторон (пятугольник).

Итог:

• а) 4
• б) 3
• в) 6
• г) 5

Замечание: задача не требует условие равенства длин сторон; достаточно, что углы равны, тогда можно применить формулу для суммы углов любого выпуклого n-угольника.