диагональ основания правильной четырёх угольной пирамиды 6√2. боковые грани наклонены к основаниям под углом 60 градусов найти S бок

Задача: правильная квадратная пирамида (основание — квадрат) с диагональю основания 6√2. Боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Найти S бок — площадь боковой поверхности.

1. Найдем сторону основания

• Диагональ квадрата равна a√2, где a — сторона основания.
• 6√2 = a√2 => a = 6.
• Значит длина основания каждой стороны равна 6.

2. Установим координаты и обозначим высоту пирамиды

• Пусть основание лежит в плоскости z = 0, центр основания в начале координат O = (0,0,0).
• Вершина V пирамиды над центром: V = (0,0,H).
• Рассмотрим боковую грань VAB, где AB — одна сторона основания: A = (3,3,0), B = (-3,3,0). Длина AB равна 6.

Пусть φ = угол между боковой гранью VAB и основанием (угол между плоскостями) = 60°.

3. Связь между высотой H и диагональю через угол наклона боковой грани

• Нормаль к основанию: n_base = (0,0,1).
• Нормаль к плоскости боковой грани VAB можно найти как AB × AV. Векторы AB = B − A = (−6,0,0), AV = V − A = (−3,−3,H).
• AB × AV = (0, 6H, 18). Упростим до нормали n_face = (0, H, 3).
• Диэдральный угол между двумя плоскостями можно получить как угол между их нормалями, проецированными на плоскость, перпендикулярную их общей линии пересечения. Линия пересечения здесь — AB, направление вдоль оси x, поэтому проекции нормалей на плоскость, перпендикулярную AB, равны: n_base' = (0,0,1), n_face' = (0,H,3).
• Косинус угла φ даёт: cos φ = (n_base' · n_face') / (|n_base'||n_face'|) = 3 / sqrt(H^2 + 9).
• По условию φ = 60°, cos 60° = 1/2. Значит 3 / sqrt(H^2 + 9) = 1/2.
• Отсюда sqrt(H^2 + 9) = 6 и H^2 + 9 = 36, поэтому H = 3√3.

4. Площадь одной боковой гранни

• Боковая грань VAB имеет основание AB длиной 6.
• Высота этой боковой грани относительно основания AB равна перпендикулярному расстоянию от точки V до линии AB в пространстве. Это расстояние равно |AB × AV| / |AB|.
• Найдем |AB × AV|: мы уже видели AB × AV = (0,6H,18). Его модуль равен sqrt((6H)^2 + 18^2) = 6 sqrt(H^2 + 9).
• Тогда высота h = |AB × AV| / |AB| = [6 sqrt(H^2 + 9)] / 6 = sqrt(H^2 + 9).
• Подставим H^2 = 27: h = sqrt(27 + 9) = sqrt(36) = 6.
• Площадь одного треугольника VAB: S1 = (1/2) * base * height = (1/2) * 6 * 6 = 18.

5. Площадь боковой поверхности всей пирамиды

• Четыре равные боковые грани: S бок = 4 * S1 = 4 * 18 = 72.

Ответ: S бок = 72 (кв. ед.). Коротко: основание имеет сторону 6, высота пирамиды 3√3, площадь каждого бокового треугольника — 18, суммарная боковая площадь — 72.