Только первое

Решение только по первому заданию: y = (x − 2)² − 1

1. Общий вид и преобразование

• Эта функция записана в вершиной форме y = (x − h)² + k, где h = 2, k = −1.
• Значит, парабола вверх открыта и получена из y = x² сдвигами: вправо на 2 единицы, затем вниз на 1 единицу.

2. Вершина и ось симметрии

• Вершина V = (h, k) = (2, −1).
• Ось симметрии: x = 2.

3. Корни (нулевые значения функции)

• Решаем (x − 2)² − 1 = 0 ⇒ (x − 2)² = 1 ⇒ x − 2 = ±1.
• Получаем x = 3 и x = 1.
• Нули функции в точках: (1, 0) и (3, 0).

4. Преобразование к общему виду y = ax² + bx + c

• Раскрываем скобки: (x − 2)² − 1 = x² − 4x + 4 − 1 = x² − 4x + 3.
• Следовательно: a = 1, b = −4, c = 3.
• Также можно записать в факторизированной форме: y = (x − 1)(x − 3).

5. Дополнительные проверки и краткая характеристика графика

• Пересечение с осью y: y(0) = (−2)² − 1 = 4 − 1 = 3, т.е. точка (0, 3).
• Минимум параболы достигается в вершине: y_min = −1 при x = 2.

Итоговые данные:

• Вершина: (2, −1)
• Нули: x = 1 и x = 3 → точки (1, 0) и (3, 0)
• Общий вид: y = x² − 4x + 3
• Факторизация: y = (x − 1)(x − 3)