Вот подробное решение задачи 3-2 из раздела «Погрешность и точность приближений».
Задача:
По графику функции y = x^2 найдены приближённые значения этой функции при x = 1,5 и x = 2,1:
- при x = 1,5: y ≈ 2,3;
- при x = 2,1: y ≈ 4,4.
Найти точные значения по формуле y = x^2 и сравнить с приближёнными.
Расчёты:
1) Точные значения (по формуле y = x^2)
- Для x = 1,5: y_true1 = (1,5)^2 = 2,25.
- Для x = 2,1: y_true2 = (2,1)^2 = 4,41.
2) Абсолютная погрешность
- Для x = 1,5: e1 = |y_approx1 − y_true1| = |2,3 − 2,25| = 0,05.
- Для x = 2,1: e2 = |y_approx2 − y_true2| = |4,4 − 4,41| = 0,01.
3) Относительная погрешность
- Для x = 1,5: δ1 = e1 / |y_true1| = 0,05 / 2,25 ≈ 0,0222 (2,22%).
- Для x = 2,1: δ2 = e2 / |y_true2| = 0,01 / 4,41 ≈ 0,00227 (0,227%).
4) Вывод
- При x = 1,5 приближённое значение 2,3 имеет абсолютную погрешность 0,05 и относительную погрешность ≈ 2,22%.
- При x = 2,1 приближённое значение 4,4 имеет абсолютную погрешность 0,01 и относительную погрешность ≈ 0,227%.
Поэтому относительная погрешность во втором случае меньше, значит приближённое значение при x = 2,1 точнее, чем при x = 1,5.
