3-2

Вот подробное решение задачи 3-2 из раздела «Погрешность и точность приближений».

Задача: По графику функции y = x^2 найдены приближённые значения этой функции при x = 1,5 и x = 2,1:

• при x = 1,5: y ≈ 2,3;
• при x = 2,1: y ≈ 4,4. Найти точные значения по формуле y = x^2 и сравнить с приближёнными.

Расчёты:

1. Точные значения (по формуле y = x^2)

• Для x = 1,5: y_true1 = (1,5)^2 = 2,25.
• Для x = 2,1: y_true2 = (2,1)^2 = 4,41.

2. Абсолютная погрешность

• Для x = 1,5: e1 = |y_approx1 − y_true1| = |2,3 − 2,25| = 0,05.
• Для x = 2,1: e2 = |y_approx2 − y_true2| = |4,4 − 4,41| = 0,01.

3. Относительная погрешность

• Для x = 1,5: δ1 = e1 / |y_true1| = 0,05 / 2,25 ≈ 0,0222 (2,22%).
• Для x = 2,1: δ2 = e2 / |y_true2| = 0,01 / 4,41 ≈ 0,00227 (0,227%).

4. Вывод

• При x = 1,5 приближённое значение 2,3 имеет абсолютную погрешность 0,05 и относительную погрешность ≈ 2,22%.
• При x = 2,1 приближённое значение 4,4 имеет абсолютную погрешность 0,01 и относительную погрешность ≈ 0,227%.

Поэтому относительная погрешность во втором случае меньше, значит приближённое значение при x = 2,1 точнее, чем при x = 1,5.