Задача Задача №3363066
А
А
4sin^2x+10sinx-6=0
Задача: 4 sin^2 x + 10 sin x - 6 = 0
Пошаговое решение
Признать форму Это квадратное уравнение относительно t = sin x: 4 t^2 + 10 t - 6 = 0
Решение через факторизацию Найдем разложение или используем факторизацию по виду (a t + b)(c t + d): 4 t^2 + 10 t - 6 = (t + 3)(4 t - 2)
Пояснение: добиваемся 4t^2 + 12t - 2t - 6 = 4t^2 + 10t - 6, что даёт верный разложение.
- Найдем корни по каждому множителю
- t + 3 = 0 → t = -3 (невозможно для sin x, так как sin x ∈ [-1, 1], значит этот корень отвергаем)
- 4 t - 2 = 0 → t = 1/2
Следовательно, sin x = 1/2.
- Найдем все x, удовлетворяющие sin x = 1/2 sin x = 1/2 даёт два решения в промежутке от 0 до 2π:
- x = π/6
- x = 5π/6
Обобщение по целой шкале x ∈ Z даёт:
- x = π/6 + 2πk
- x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z
Если нужна запись в градусах:
- x = 30° + 360°k
- x = 150° + 360°k, где k ∈ Z
- Проверка Из двух корней только sin x = 1/2 допустим; sin x = -3 невозможно, поэтому решений меньше. Примеры проверяем: для x = π/6 sin x = 1/2, подставляем в исходное уравнение — работает.
Ответ x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z. (Альтернатива в градусах: x = 30° + 360°k или x = 150° + 360°k.)
