(cos 35° + cos 85°)(cos 275° + cos 325°) + (cos 5° + cos 125°)(cos 355° - cos 415°)

Цель: понять детальное решение.

Задача: (cos 35° + cos 85°)(cos 275° + cos 325°) + (cos 5° + cos 125°)(cos 355° - cos 415°)

1. Первый скобочный множитель: cos35° + cos85°

• Используем тождество sum-to-product: cosA + cosB = 2 cos((A+B)/2) cos((A−B)/2).
• Получаем: cos35° + cos85° = 2 cos(60°) cos(−25°) = 2 · (1/2) · cos25° = cos25°.

2. Второй скобочный множитель: cos275° + cos325°

• Аналогично: cos275° + cos325° = 2 cos((275+325)/2) cos((275−325)/2) = 2 cos(300°) cos(−25°).
• cos300° = cos(360°−60°) = cos60° = 1/2, значит: 2 · (1/2) · cos25° = cos25°.

Итак: ( cos35° + cos85° )( cos275° + cos325° ) = cos25° · cos25° = cos^2 25°.

3. Третий скобочный множитель: cos5° + cos125°

• Применяем то же тождество: cos5° + cos125° = 2 cos((5+125)/2) cos((5−125)/2) = 2 cos65° cos(−60°) = 2 cos65° cos60° = cos65°.

4. Четвёртый скобочный множитель: cos355° − cos415°

• Применяем тождество: cosA − cosB = −2 sin((A+B)/2) sin((A−B)/2).
• cos355° − cos415° = −2 sin((355+415)/2) sin((355−415)/2) = −2 sin385° sin(−30°) = −2 sin385° · (−1/2) = sin385°.
• sin385° = sin(385° − 360°) = sin25°.

Итак: ( cos5° + cos125° )( cos355° − cos415° ) = cos65° · sin25°. Но cos65° = sin25°, значит это равно sin^2 25°.

5. Сумма обеих частей: cos^2 25° + sin^2 25° = 1.

Ответ: 1.