M²-mn/(m²n+n³)-2m³/(n³-mn²+m²n-m³)

Задача: E = m^2 - (m n)/(m^2 n + n^3) - (2 m^3)/(n^3 - m n^2 + m^2 n - m^3) Пошаговое решение и объяснения 1) Упростим дроби за счет факторизации знаменателей - m^2 n + n^3 = n(m^2 + n^2) = n(n^2 + m^2) Следовательно, (m n)/(m^2 n + n^3) = (m n)/[ n(n^2 + m^2) ] = m/(n^2 + m^2), при n ≠ 0. - n^3 - m n^2 + m^2 n - m^3 можно разложить по группам: n^3 - m n^2 + m^2 n - m^3 = (n^3 - m n^2) + (m^2 n - m^3) = n^2(n - m) + m^2(n - m) = (n^2 + m^2)(n - m). Значит второй знаменатель равен (n^2 + m^2)(n - m). Перепишем исходное выражение с этими преобразованиями: E = m^2 - m/(n^2 + m^2) - 2 m^3/[(n^2 + m^2)(n - m)] 2) Приведём к общему знаменателю Общий знаменатель D = (n^2 + m^2)(n - m). - Первый член m^2 должен быть записан как m^2 · D / D = m^2 (n^2 + m^2)(n - m) / D. - Второй член -m/(n^2 + m^2) становится - m(n - m)/D. - Третий член уже имеет знаменатель D: - 2 m^3 / D. Итак, E = [ m^2 (n^2 + m^2)(n - m) - m (n - m) - 2 m^3 ] / [ (n^2 + m^2)(n - m) ]. 3) Альтернативно можно вынести общий множитель из первых двух слагаемых: E = [ (n - m) ( m^2 (n^2 + m^2) - m ) - 2 m^3 ] / [ (n^2 + m^2)(n - m) ]. Но явное сокращение между числителем и знаменателем здесь ограничено, поэтому окончательный вид остаётся в приведённой форме above. Итого окончательная форма: E = [ m^2 (n^2 + m^2)(n - m) - m (n - m) - 2 m^3 ] / [ (n^2 + m^2)(n - m) ]. 4) Дomen и условия допустимости - Для шага упрощения (m n)/(m^2 n + n^3) мы потребовали n ≠ 0. - Второе деление требует (n^3 - m n^2 + m^2 n - m^3) ≠ 0, то есть (n - m)(n^2 + m^2) ≠ 0. Так как n^2 + m^2 ≥ 0 и равняется 0 только при m = 0 и n = 0, достаточно, чтобы n ≠ m и n ≠ 0. - В общем: роба допустимости: n ≠ 0 и n ≠ m. Если нужно, могу привести численный пример или подобрать вид выражения в виде одной дроби с явной числителем.