Построй график функции y=x⁴-2x²+2

Вот подробное решение и план построения графика функции y = x^4 - 2x^2 + 2. Это подойдет для средней школы и не требует указанных предмета/класса. 1) Приведение к удобной форме - Перепишем через x^2: y = x^4 - 2x^2 + 2 = (x^2)^2 - 2(x^2) + 2. - Пусть t = x^2 (t ≥ 0). Тогда y = t^2 - 2t + 2 = (t - 1)^2 + 1. - Из этого следует: минимальное значение y достигается при t = 1, то есть при x^2 = 1 → x = ±1. Значение y в этих точках равно 1. 2) Основные свойства графика - Область определения: все действительные числа. - График четный: f(-x) = f(x). График симметричен относительно оси y. - Значение в нуле: f(0) = 2. - Так как y = (x^2 - 1)^2 + 1, видно диапазон значений: y ≥ 1. Точки с y = 1 при x = ±1. - Глобальный минимум: y = 1 при x = -1 и x = 1. - Поведение на бесконечности: при |x| → ∞, y → ∞ (ведущий член x^4 положителен при больших |x|). 3) Критические точки и характер их изменения - Производная: f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1). - Корни производной: x = -1, 0, 1 — критические точки. - Второй производной: f''(x) = 12x^2 - 4. - В точке x = -1: f''(-1) = 12 - 4 = 8 > 0 → локальный минимум. - В точке x = 0: f''(0) = -4 < 0 → локальный максимум. - В точке x = 1: f''(1) = 12 - 4 = 8 > 0 → локальный минимум. - Значения в этих точках: - f(-1) = 1 - f(0) = 2 - f(1) = 1 4) Примерные точки для построения Расставим значения, чтобы набросать форму графика: - x = 0 → y = 2 - x = ±1 → y = 1 - x = ±2 → y = 16 - 8 + 2 = 10 - x = ±3 → y = 81 - 18 + 2 = 65 - x = ±0.5 → x^2 = 0.25, x^4 = 0.0625 → y = 0.0625 - 0.5 + 2 = 1.5625 - x = ±0.866 (пример sqrt(0.75)) → x^2 ≈ 0.75, x^4 ≈ 0.5625 → y ≈ 0.5625 - 1.5 + 2 ≈ 1.0625 5) Как нарисовать график (инструкция) - Отметьте оси и возьмите горизонтальную шкалу по x и вертикаль по y. - Отметьте минимумы: (-1, 1) и (1, 1). - Отметьте локальный максимум: (0, 2). - Учтите симметрию: график симметричен относительно оси y. - Отметьте точку пересечения оси y: при x = 0 график равен 2, значит y-пересечение есть (0, 2). - Так как y ≥ 1 и нет корней уравнения y = 0, график не пересекает ось x. - Нарисуйте плавную W-образную кривую с двумя минимумами в x = ±1 и максимальным в x = 0, продолжая вверх к бесконечности при больших |x|. 6) Итоговое описание графика - График квадратно-четвертой степени, две одинаковые нижние точки при x = ±1 (y = 1), локальный максимум в точке (0, 2), функция симметрична относительно оси y, диапазон y ≥ 1, без пересечений с осью x. Дополнительно: если нужно, могу дать код на Python (matplotlib) или просто точный набор точек для ручного построения или для цифрового графика. Также можно привести более точную пиктовку на оси или сделать упор на конкретные диапазоны x, если вы хотите увеличить точность рисунка.