Задача Задача №3364483
А
А
начертить попарно неколлинеарный векторы x,y,z, и постройке векторы x+y,x+z,z+y
Задача: начертить три попарно неколлинеарных вектора x, y, z, из одной точки O, и построить векторы x+y, x+z, y+z (или z+y).
Что значит попарно неколлинеарные
- Ни два из x, y, z лежат на одной прямой, то есть никакой вектор не является скалярным múltiple другого (их направления различны, и никакой не параллелен другому).
Как это можно сделать на практике (пошагово)
- Постройте три направляющих вектора
- Выберите точку O (начало всех векторов).
- Нарисуйте три луча из O в разных направлениях, так чтобы ни два из них не были параллельны. Отметьте точки X, Y, Z, такие что OX = x, OY = y, OZ = z.
- Пример: x вдоль направления х-, y под углом около 60°, z под углом около 140° к x. В любом случае ориентации должны обеспечивать, что пары несовпадают по направлению и не лежат на одной прямой.
- Построение вектора x+y Способ 1: правило параллелограмма
- Через точку X проведите прямую, параллельную y.
- Через точку Y проведите прямую, параллельную x.
- Их точка пересечения назовём P. Вектор OP равен x+y.
- Вектор x+y начинается в O и заканчивается в P.
Способ 2: перенос вектора
- Перенесите вектор y так, чтобы его основание было в точке X (то есть нарисуйте от X отрезок, равный по длине и направлению y).
- Конечная точка этого переноса будет точкой X+y. Вектор от O к этой точке тоже даёт x+y.
- Построение вектора x+z
- Аналогично: через X проведите прямую, параллельную z; через Z проведите прямую, параллельную x.
- Их пересечение будет точкой, обозначим её Q. Тогда OQ = x+z.
- Можно также перенести z к концу x или перенести x к концу z; полученный конец даст точку x+z.
- Построение вектора y+z (или z+y)
- Через Y проведите прямую, параллельную z; через Z проведите прямую, параллельную y.
- Их пересечение обозначим R. Тогда OR = y+z.
- Как и прежде, сумма y+z не зависит от порядка (y+z = z+y).
- Проверки и пояснения
- Убедитесь, что все построения выполнены параллелограммами или переносами: OP, OQ, OR — диагонали соответствующих параллелограммов.
- Суммы x+y, x+z, y+z лежат в той же плоскости (если изначально все векторы в одной плоскости).
- Если заданы координаты векторов, можно проверить арифметически: например, если x=(a1,b1), y=(a2,b2), z=(a3,b3), то x+y=(a1+a2, b1+b2), x+z=(a1+a3, b1+b3), y+z=(a2+a3, b2+b3).
Пример с конкретными числами (для наглядности)
- Пусть x = (2, 0), y = (0, 3), z = (-1, 2). Эти три вектора не коллинеарны друг другу.
- x+y = (2,0) + (0,3) = (2,3)
- x+z = (2,0) + (-1,2) = (1,2)
- y+z = (0,3) + (-1,2) = (-1,5)
- Можно на чертеже от O провести параллелограммы с параллелями к соответствующим векторам и увидеть диагонали, которые дают искомые суммы.
Советы по черчению
- В чертеже лучше использовать линейку и карандашную память: сначала можно нарисовать OX, OY, OZ как три вектора, затем параллельные линии для построения соответствующих сумм.
- Если удобно, сначала задайте конкретные координаты (как в примере), нарисуйте их на координатной плоскости и помножьте на точном примере, чтобы увидеть, как выглядят суммы.
Итог
- Вы нарисовали три попарно неколлинеарных вектора x, y, z из одной точки.
- С помощью правила параллелограмма (или переноса векторов) построили векторы x+y, x+z, y+z (z+y).
- Эти суммы соответствуют диагоналям параллелограммов со сторонами (x,y), (x,z), (y,z) и дают явные точки конца этих сумм на чертеже.
