Як виконати це завдання?

Насправді це завдання на доведення нерівностей за допомогою перетворення виразів у квадрати або суми квадратів. Загальний підхід:

• зліва вираз мінус справа перетворюємо у квадрат або суму квадратів, що завжди не від’ємна;
• якщо вийде (що зазвичай так) вираз виду (х)^2 ≥ 0, то нерівність справедлива для будь-яких значень змінних;
• в рівняннях отримуємо точні умови рівності.

Розглянемо кожну нерівність із завданої задачі.

1. m^2 + n^2 ≥ 2mn

• Перенесемо всі члени в одну сторону: m^2 + n^2 − 2mn ≥ 0
• Це (m − n)^2 ≥ 0
• Оскільки квадрат завжди не від’ємний, нерівність виконується для будь-яких дійсних m, n. Рівність має місце, коли m = n.

2. t(t + 2) ≥ −1

• Розкриємо: t^2 + 2t ≥ −1
• Додамо 1 обох сторонам: t^2 + 2t + 1 ≥ 0
• Це (t + 1)^2 ≥ 0
• Знову ж квадратична сума завжди не від’ємна, нерівність справедлива для будь-якого t. Рівність при t = −1.

3. c(c − d) ≥ −cd

• Перенесемо: c(c − d) + cd ≥ 0
• Обчислюємо: c^2 − cd + cd ≥ 0 → c^2 ≥ 0
• Це завжди вірно; нерівність справедлива для будь-яких c, d. Рівність при c = 0.

4. p^2 − 11p + 36 ≥ p

• Перенесемо p вліво: p^2 − 12p + 36 ≥ 0
• Розкладемо через квадрат: (p − 6)^2 ≥ 0
• Знову завжди не від’ємно; рівність при p = 6.

Висновок:

• Усі чотири нерівності доводяться шляхом перетворення до квадратів і використання того, що будь-який квадрат не менший нуля.
• Це універсальний спосіб для подібних задач: шукаймо вираз у вигляді (який-небудь вираз)^2 або суми квадратів. Якщо потрібно, можу запропонувати інші способи доведення або перевірити конкретні значення змінних.