Задании уровня А Вам предложены тестовые задания. Каждое здание оценивается в 1 балл. 1.1. Сколько плоскостей можно провести через три точки пространства не принадлежащие одной…
Задании уровня А Вам предложены тестовые задания. Каждое здание оценивается в 1 балл. 1.1. Сколько плоскостей можно провести через три точки пространства не принадлежащие одной прямо А)Ни одной В)Три С)Одну D) Бесконечно много 12 Для правильной шестиугольной призмы ABCDEFA,B,C,D,E,F укажите ребро параллельное ребру В.С. B) C_{1}*D_{1} C) EF D) DE 1.3 Назовите общую прямую плоскостей РВМ и МАВ A) PM: B) A B C) PB; D) BM. 1.4. Точка А отстоит от плоскости на расстоянии 18см. Найдите длину наклонной, проведенной из нее под углом 60 deg этой плоскости. A) 12sqrt(3) B) 6sqrt(3) C) 3sqrt(3) D) 8sqrt(3) E) (9pi)/12 1.5.. Из точки В вершины прямоугольника ABCD восстановлен перпендикуляр ВМ к плоскости прямоугольника. Найти MD, если CD = 8 MC = 15 А)17 см В) 12 см С) 13 см D) 20 см 1.6. Расстояние от точки В до каждой из вершин равностороннего треугольника АВС равно 4 см. AB = 6 . Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС. А)2 см В) 4 см С) 3 см D) 6 см
Ниже подробные решения к каждому из заданий уровня А (Геометрия, 11 класс).
1.1. Сколько плоскостей можно провести через три точки пространства, не принадлежащие одной прямой
- Пояснение: если три точки не лежат на одной прямой, они однозначно определяют плоскость. Любые три точки, не колlinear, задают одну и ту же плоскость.
- Правильный ответ: C) Одну
- Ключевая идея: три неколлинейные точки определяют уникальную плоскость.
1.2. Для правильной шестиугольной призмы ABCDEFA, B, C, D, E, F — укажите ребро, параллельное ребру BC (BC = ребро основного шестиугольника)
- Пояснение: в правильной шестиугольной призме ребра на противоположной стороне основы параллельны соответствующим парам. У ребра BC на верхней основе есть параллельное ему ребро на нижней основе — это EF (BC || EF).
- Правильный ответ: C) EF
- Ключевая идея: противоположные стороны правильного шестиугольника параллельны; в призме соответствующие основания сохраняют параллельность.
1.3. Назовите общую прямую плоскостей PVM и MAB
- Пояснение: общая прямая двух плоскостей — это их линия пересечения. В подобных задачах через заданные обозначения обычно получается, что обе плоскости содержат линию MB (M и B лежат на обеих плоскостях в конфигурации задачи). Следовательно, общая прямая — MB.
- Правильный ответ: D) BM
- Ключевая идея: найти общую линию пересечения плоскостей: она является линией, которая полностью лежит на обеих плоскостях. В данной постановке это MB.
1.4. Точка A удалена от плоскости на расстояние 18 см. Найдите длину наклонной, проведённой из нее под углом 60° к этой плоскости
- Пояснение: Пусть AL — такая наклонная, L — её перпендикулярная проекция на плоскость (плоскость — базовая). Расстояние от A до плоскости равно высоте h = 18. Если угол между наклонной AL и плоскостью равен θ = 60°, то в правой пирамиде с основанием на плоскости высота и длина наклонной образуют relation: s sin θ = h, где s — длина наклонной.
- s = h / sin θ = 18 / sin 60° = 18 / (√3/2) = 36/√3 = 12√3.
- Правильный ответ: A) 12√3
- Ключевая идея: длина наклонной определяется через высоту и синус угла между наклонной и плоскостью.
1.5. Из точки B вершины прямоугольника проведён перпендикуляр BM к плоскости прямоугольника. Найдите MD, если CD = 8, MC = 15
- Пояснение: В условии B — вершина прямоугольника, и BM — перпендикуляр к плоскости прямоугольника. Часто в такой конфигурации точка M совпадает с точкой B (BM перпендикуляр к своей же плоскости, т.е. M совпадает с B). Тогда MC = BC, значит BC = 15. CD = 8 — соседняя сторона; MD — диагональ прямоугольника, тянущаяся от B (точка M) к D. Диагональ прямоугольника BD равна sqrt(BC^2 + CD^2) = sqrt(15^2 + 8^2) = sqrt(225 + 64) = sqrt(289) = 17.
- Правильный ответ: A) 17 см
- Ключевая идея: если M coincide с B, то MD = BD, и в прямоугольнике диагональ даёт корень суммы квадратов соседних сторон.
1.6. Расстояние от точки M до каждой из вершин равностороннего треугольника ABC равно 4 см. AB = 6. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC
- Пояснение: Пусть ABC — равносторонний треугольник на плоскости, AB = 6. В равностороннем треугольнике его circumradius R = AB/√3 = 6/√3 = 2√3. Точка M расположена так, что расстояния MA = MB = MC = 4 см. Все эти точки лежат на конусе поверх основания ABC, а M находится на линии, перпендикулярной плоскости ABC, через ее центр O (центр описанной окружности трапеции). Тогда расстояние MO до плоскости solves из прямоугольного треугольника, где OA = R = 2√3 и MA = 4:
- MA^2 = MO^2 + OA^2
- 4^2 = MO^2 + (2√3)^2
- 16 = MO^2 + 12
- MO^2 = 4
- MO = 2
- Правильный ответ: A) 2 см
- Ключевая идея: точка M, равноудаленная от всех вершин равностороннего треугольника, лежит на оси, перпендикулярной плоскости ABC через центр описанной окружности; расстояние до плоскости определяется через радиус окружности R и данное расстояние MA.
Если нужна дополнительная иллюстрация к каждому пункту или разбор по шагам с чертежами, могу привести более подробные пояснения или привести рисунки.
