сравните числа 0.54(5) и 0.545; 0.27 и 0.2(72)

Задача: сравнить 0.54(5) и 0.545; 0.27 и 0.2(72).

Пояснения и решение

1. Число 0.54(5)

• Что означает: после начальных двух цифр после запятой "54" следует период повторения цифры "5" (то есть 0.545555...).
• Обозначим x = 0.545555... Тогда:
  • 100x = 54.5555...
  • 99x = 100x − x = 54.5555... − 0.545555... = 54.010000... = 5401/100
  • x = (5401/100) / 99 = 5401/9900 = 491/900.
• Число 0.545 = 545/1000 = 109/200.
• Сравнение: 491/900 против 109/200.
  • Перепишем: 491/900 ? 109/200
  • Перекрестное умножение: 491·200 = 98200, 109·900 = 98100.
  • 98200 > 98100, значит 0.54(5) больше 0.545.
• Вывод: 0.54(5) > 0.545 (приближенно 0.545555... против 0.5450...).

2. Число 0.27 и 0.2(72)

• Что означает: после десятичной запятой "2" следует период повторения "72", то есть число равно 0.272727... = 0.(27).
• 0.27 = 27/100.
• 0.2(72) = 0.(27) = 27/99 = 3/11.
• Сравнение: 27/100 против 3/11.
  • Перекрестное умножение: 27·11 = 297, 3·100 = 300.
  • 297 < 300, значит 27/100 < 3/11.
• Вывод: 0.27 < 0.2(72) (0.272727... против 0.270000...).

Итог

• 0.54(5) > 0.545.
• 0.27 < 0.2(72).