Домножьте числитель и знаменатель дроби x-1/x+1 на x+1

Задача: домножить числитель и знаменатель дроби (x−1)/(x+1) на (x+1).

Пошаговое решение и пояснения:

1. Выпишем операцию явно.

• Исходная дробь: (x − 1)/(x + 1).
• Домножаем и числитель, и знаменатель на (x + 1): ((x − 1)(x + 1)) / ((x + 1)(x + 1)).

2. Раскроем скобки (опционально для ясности).

• числитель: (x − 1)(x + 1) = x^2 − 1 (разность квадратов).
• знаменатель: (x + 1)(x + 1) = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1.
• итоговая дробь: (x^2 − 1) / (x + 1)^2.

3. Возможное упрощение (пояснение по сокращению).

• Заметим, что x^2 − 1 = (x − 1)(x + 1). Поэтому (x^2 − 1) / (x + 1)^2 = [(x − 1)(x + 1)] / (x + 1)^2.
• Можно сократить общий фактор (x + 1) с одной единицей в знаменателе: [(x − 1)(x + 1)] / (x + 1)^2 = (x − 1)/(x + 1), при условии x ≠ −1.

4. Важное замечание о области определения.

• Чтобы исходная дробь была определена, нужен x ≠ −1.
• Чтобы выполнение сокращения было допустимо, также требуется x ≠ −1 (чтобы не делить на ноль после сокращения).

5. Итог.

• Неупрощённо: ((x − 1)(x + 1)) / (x + 1)^2 = (x^2 − 1) / (x + 1)^2.
• Упрощённо: (x − 1)/(x + 1), при x ≠ −1.

Пример для наглядности:

• Пусть x = 2. Исходная дробь: (2−1)/(2+1) = 1/3.
• После домножения: ((2−1)(2+1))/((2+1)^2) = (1·3)/9 = 3/9 = 1/3.
• После сокращения: (2−1)/(2+1) = 1/3. Все равно даёт 1/3.