Если точки А В и С не лежат на одной прямой то существует лишь одна окружность которая проходит через эти три точки. Написать с помощью кванторов

Задача: доказать, что если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то существует единственная окружность, проходящая через эти три точки, и записать это с помощью кванторов. 1) Пояснение (практическое решение) - Так как A, B, C не коллинеарны, прямые AB и AC различны. Их перпендикуляры к AB и к AC также не параллельны, поэтому они пересекаются в одной точке O. Этот O является центром окружности, через A, B и C, потому что: - O лежит на перпендикуляре к AB, значит OA = OB. - O лежит на перпендикуляре к AC, значит OA = OC. - Следовательно OA = OB = OC = R для некоторого R > 0. Окружность с центром O и радиусом R проходит через A, B и C. - Единственность: если существует другая окружность с центром O' и радиусом R' через A, B, C, то O' лежит на перпендикуляре к AB и на перпендикуляре к AC, следовательно O' = O. Аналогично радиус окружности должен быть равен R = OA. Поэтому другая окружность совпадает с полученной ранее. 2) Запись в форме кванторов (существование и единственность) Пусть d(P, Q) обозначает евклидову дистанцию между точками P и Q, а Col(A,B,C) означает, что A, B и C лежат на одной прямой. Пусть A, B, C — произвольные точки плоскости. Утверждение: если ¬Col(A,B,C), то существует единственная окружность через A, B, C. Formalно это можно записать так: ∀A ∀B ∀C [ ¬Col(A,B,C) → ∃O ∃R [ R > 0 ∧ d(O,A) = R ∧ d(O,B) = R ∧ d(O,C) = R ∧ ∀O' ∀R' [ R' > 0 ∧ d(O',A) = R' ∧ d(O',B) = R' ∧ d(O',C) = R' → (O' = O ∧ R' = R) ] ] ] Пояснения к формулам: - ∀A ∀B ∀C — для любых точек A, B, C. - ¬Col(A,B,C) — они не лежат на одной прямой. - ∃O ∃R [ R > 0 ∧ d(O,A) = R ∧ d(O,B) = R ∧ d(O,C) = R ] — существование окружности: центр O и радиус R, такая что A, B и C лежат на окружности (расстояние до центра одинаково и равно R). - ∀O' ∀R' [ R' > 0 ∧ d(O',A) = R' ∧ d(O',B) = R' ∧ d(O',C) = R' → (O' = O ∧ R' = R) ] — любая другая окружность, проходящая через A, B, C, имеет тот же центр и тот же радиус, то есть единственна. Дополнительно можно ввести более явное определение Col, например через детерминант координат или через существование единичного вектора направления на прямой, но общая идея выше понятна: не коллинеарность обеспечивает существование и единственность окружности через три точки.