площадь четырехугольника MNKP, описанного около окружности радиуса 7см, равна 182см².Найдите стороны четырехугольника, если известно,что PK на 6 см больше MN,KN:MP=7 : 6
Решение
Так как четырехугольник MNKP описан около окружности радиуса r = 7 см, он является искомым касательным (вписанным в окружность) четырехугольником. Для касательного четверохугольника площадь равна A = r · s, где s — полупериметр, а также сумма длин противоположных сторон равна (Pitot) MN + KP = NK + PM.
Даны A = 182 см² и r = 7 см. Найдём полупериметр: s = A / r = 182 / 7 = 26 см. Значит сумма всех сторон MN + NK + KP + PM = 2s = 52 см.
Обозначим стороны: MN = a, NK = b, KP = c, PM = d. Условия задачи:
- PK на 6 см больше MN: c = a + 6
- KN:MP = 7:6 → b : d = 7 : 6 → b = (7/6) d
- Pitot: a + c = b + d
- Сумма сторон: a + b + c + d = 52
Из Pitot и подстановки c = a + 6: a + (a + 6) = b + d → 2a + 6 = b + d. Так как b = (7/6) d, имеем b + d = (7/6)d + d = (13/6) d. Следовательно: 2a + 6 = (13/6) d → 13d = 12a + 36. Это (1).
Из суммы сторон: a + b + c + d = 52. Подставим c = a + 6 и b = (7/6)d: a + (7/6)d + (a + 6) + d = 52 → 2a + (13/6)d = 46. Умножим на 6: 12a + 13d = 276. Это (2).
Решим систему (1) и (2): из (1): d = (12a + 36) / 13. подставим в (2): 12a + 13·[(12a + 36)/13] = 276 12a + 12a + 36 = 276 24a = 240 → a = 10.
Тогда d = (12·10 + 36) / 13 = (120 + 36) / 13 = 156 / 13 = 12. b = (7/6) d = (7/6)·12 = 14. c = a + 6 = 10 + 6 = 16.
Проверка: Сумма: 10 + 14 + 16 + 12 = 52 → полупериметр 26. Pitot: MN + KP = 10 + 16 = 26, NK + PM = 14 + 12 = 26. Площадь: A = r·s = 7·26 = 182 см². Всё верно.
Ответ: MN = 10 см, NK = 14 см, KP = 16 см, PM = 12 см.
