при каком условии проекция вектора на ось будет положительной, а при каком— отрецательной?

Кратко: проекция вектора на ось положительна тогда, когда угол между вектором и этой осью острый; отрицательна — когда угол тупой; равна нулю — когда вектор перпендикулярен оси.

Подробнее по шагам:

• Пусть v — вектор, а — единичный вектор вдоль этой оси (направление оси задаёт знак проекции).
• Скаля́рная проекция на ось равна p = v · a (скалярное произведение).
• Значение знака p зависит от угла θ между v и осью:
  • если θ ∈ (0°, 90°) или (0, π/2): cos θ > 0 → p > 0 (положительная проекция);
  • если θ = 90°: cos θ = 0 → p = 0 (проекция нулевая);
  • если θ ∈ (90°, 180°): cos θ < 0 → p < 0 (отрицательная проекция).
• Если ось задана не единичным вектором, можно использовать p = |v| cos θ, где θ — угол между v и осью. Но знак определяется тем же правилом.

Примеры:

• Пример 1: ось — положительное направление x, вектор v имеет координаты (3, 4). Проекция на ось x равна p = 3. Положительная, так как угол между v и осью x острый.
• Пример 2: та же ось x, вектор v = (-2, 1). Проекция на ось x равна p = -2. Отрицательная, угол между v и осью x тупой.
• Пример 3: вектор v ⟂ оси (например v = (0, 5) относительно оси x). Проекция равна p = 0.

Важно: знак проекции зависит от заданного направления оси. Если взять ось в противоположном направлении, знак проекции поменялся бы (p → -p).