Реши

Задача: (x^3 − 1)/(x^2 + x + 1) + 1 = x

Пояснение пошагово

1. Заметим факторизацию числителя: x^3 − 1 = (x − 1)(x^2 + x + 1)

2. Подставляем это в выражение и сокращаем: (x^3 − 1)/(x^2 + x + 1) = (x − 1)(x^2 + x + 1)/(x^2 + x + 1) = x − 1, при условии, что знаменатель не равен нулю (x^2 + x + 1 ≠ 0).

   Тогда левая часть становится: (x − 1) + 1 = x.

3. Следовательно, данное уравнение преобразуется в уравнение x = x, которое истинно для всех допустимых x (в рамках области определения).

Область определения

• Требуется, чтобы x^2 + x + 1 ≠ 0.
• Для действительных чисел дискриминант x^2 + x + 1 = 0: D = 1 − 4 = −3 < 0, следовательно, для реальных x эта часть никогда не обращается в ноль. Значит, все реальные x подходят.
• Если рассматривать комплексные x, то существуют x, для которых x^2 + x + 1 = 0 (x = (-1 ± i√3)/2) — на таких x выражение неопределено.

Итого

• Для всех вещественных x данное уравнение выполняется.
• Ответ: все реальные числа x являются решениями (поскольку выражение определено и тождественно равно x).

Если хотите, могу привести альтернативный способ через умножение обеих частей на знаменатель или показать проверку подстановкой.