Задача Задача №3370564
А
А
Саша и Паша на доске мелом нарисовали 50 звездочек. Мальчики по очереди стирают одну, две или три звездочки. Выигрывает тот, кто сотрет последнюю звездочку. Первый ход делал Саша…
Запрос пользователя
Саша и Паша на доске мелом нарисовали 50 звездочек. Мальчики по очереди стирают одну, две или три звездочки. Выигрывает тот, кто сотрет последнюю звездочку. Первый ход делал Саша и стер одну звездочку. У кого из мальчиков далее есть беспроигрышная стратегия? В ответе напишите первую букву имени мальчика и число стертых за первый ход звездочек. Ответ оформите как в примере.
Разбор задачи
- Правило игры: за один ход можно убрать 1–3 звездочки, игрок, снявший последнюю звездочку, побеждает.
- В таких играх позиции, где осталось кратно 4 звезд, называют проигрышными для текущего игрока; если осталось не кратно 4, у текущего игрока есть выигрышная стратегия — убрать столько, чтобы осталось кратно 4, и затем поддерживать этот режим.
Ход решения
- Саша сделал первый ход и убрал 1 звездочку. Осталось 50 − 1 = 49 звезд. Теперь ход Паши.
- 49 ≡ 1 (mod 4), то есть не кратно 4. Значит у Паши есть выигрышная стратегия: убрать 1 звездочку, чтобы осталось 48 — кратно 4.
- Пусть затем Саша возьмет 1, 2 или 3 звездочки. Паша отвечает так, чтобы сумма взятых за этот раунд была 4: если Саша взял 1 — Паша возьмет 3; если Саша взял 2 — Паша возьмет 2; если Саша взял 3 — Паша возьмет 1. Тогда после каждого хода Паши снова останется количество, кратное 4.
- Таким образом, после первого хода Паше удаётся удерживать проигрышные позиции и довести игру до своей победы при оптимальной игре.
Ответ П 1
