y=2x²+x+3

Давай разберем уравнение \( y = 2x^2 + x + 3 \) поэтапно, чтобы ты мог переписать его в тетрадь.

1. Определение функции

Данное уравнение представляет собой квадратичную функцию, где:

• \( a = 2 \)
• \( b = 1 \)
• \( c = 3 \)

2. Построение графика

Для построения графика квадратичной функции, можно выполнить следующие шаги:

2.1. Нахождение вершины параболы

Формула для нахождения координат вершины параболы: \[ x_{в} = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения \( a \) и \( b \): \[ x_{в} = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4} \]

Теперь подставим \( x_{в} \) обратно в функцию, чтобы найти \( y_{в} \): \[ y_{в} = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) + 3 \]

Рассчитаем: \[ y_{в} = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + 3 = \frac{2}{16} - \frac{4}{16} + \frac{48}{16} = \frac{46}{16} = \frac{23}{8} \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке: \[ \left(-\frac{1}{4}, \frac{23}{8}\right) \]

2.2. Нахождение пересечения с осью Y

Чтобы найти точку пересечения с осью Y (где \( x = 0 \)): \[ y = 2(0)^2 + (0) + 3 = 3 \] Точка пересечения: \( (0, 3) \)

2.3. Нахождение корней уравнения (если они есть)

Чтобы найти корни, решим уравнение \( 2x^2 + x + 3 = 0 \) с помощью дискриминанта:

Дискриминант \( D \) рассчитывается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] Подставим \( a, b, c \): \[ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23 \]

Так как дискриминант меньше нуля (\( D < 0 \)), у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось X и лежит выше оси X.

3. Итог

Мы изучили квадратичную функцию \( y = 2x^2 + x + 3 \):

• Вершина параболы находится в точке \( \left(-\frac{1}{4}, \frac{23}{8}\right) \).
• Пересечение с осью Y в точке \( (0, 3) \).
• Нет действительных корней уравнения.

Если нужны дополнительные разъяснения или примеры, дай знать!