На основании AC равнобедренного треугольника ABC выбрали точку D, а на его продолжении за вершину C - точку E, причем AD = CE. Докажите, что BD + BE > AB + BC.
Пояснение и решение (предположим, что треугольник ABC равнобедрен с основанием AC, т.е. AB = BC).
- Уточнение конфигурации
- Пусть AB = BC (основание AC). Тогда вершина B лежит на биссектрисе основания AC.
- Пусть AC = L > 0, и выбраны точки D на AC и E на продолжении AC за C так, чтобы AD = CE. Обозначим d = AD = CE. Тогда:
- D находится в точке на AC с координатами ближе к A: D = (d, 0).
- E находится за C на том же луче: E = (L + d, 0).
- Коротко о длинах сторон
- Пусть A = (0, 0), C = (L, 0), B = (L/2, h) для некоторого h > 0 (это удовлетворяет AB = BC).
- Тогда AB = BC = sqrt((L/2)^2 + h^2).
- Вычислим BD и BE
- BD = расстояние между B и D: BD = sqrt((L/2 − d)^2 + h^2).
- BE = расстояние между B и E: BE = sqrt((L/2 − (L + d))^2 + h^2) = sqrt((−L/2 − d)^2 + h^2) = sqrt((L/2 + d)^2 + h^2).
Обозначим S(d) = BD + BE: S(d) = sqrt((d − L/2)^2 + h^2) + sqrt((d + L/2)^2 + h^2).
- Свойство функции S(d)
Рассмотрим производную S'(d): S'(d) = (d − L/2)/sqrt((d − L/2)^2 + h^2) + (d + L/2)/sqrt((d + L/2)^2 + h^2).
Вторая производная:
- для первой дроби: d/d d of (d − L/2)/sqrt((d − L/2)^2 + h^2) = h^2 / ((d − L/2)^2 + h^2)^(3/2) > 0;
- для второй дроби: d/d d of (d + L/2)/sqrt((d + L/2)^2 + h^2) = h^2 / ((d + L/2)^2 + h^2)^(3/2) > 0.
Значит S''(d) = h^2 / ((d − L/2)^2 + h^2)^(3/2) + h^2 / ((d + L/2)^2 + h^2)^(3/2) > 0 для всех d.
Следовательно, функция S(d) строго выпуклая по d. Её минимум достигается там, где S'(d) = 0. При d = 0 имеем: S'(0) = (−L/2)/sqrt((L/2)^2 + h^2) + (L/2)/sqrt((L/2)^2 + h^2) = 0.
Поскольку минимум находится в d = 0 и S строго возрастает для d > 0 (из-за выпуклости), для любых d > 0 выполняется: S(d) > S(0).
- Итог
- S(0) = BD + BE при d = 0 равняется AB + BC (потому что при d = 0 D совпадает с A, E совпадает с C: BD = AB и BE = BC).
- Для любых допустимых D и E с AD = CE и AD > 0 (то есть d > 0) имеем BD + BE > AB + BC.
Следовательно, BD + BE > AB + BC, как и требовалось. Проблема равносильна тому, что сумма расстояний от B до двух точек D и E на одной прямой, удовлетворяющих AD = CE, достигает минимума при D = A и E = C, а при отсутствии этого крайнего случая (D внутри AC и E за C) сумма strictly больше. Приведённое доказательство строгой выпуклости функции S(d) формально это и фиксирует.
