Радиус основания цилиндра равен 9 см. Из середины отрезка ОО,, где точки О и 0, — центры соответственно нижнего и верхнего ос- нований цилиндра, проведён луч, пересекающий…
Радиус основания цилиндра равен 9 см. Из середины отрезка ОО,, где точки О и 0, — центры соответственно нижнего и верхнего ос- нований цилиндра, проведён луч, пересекающий плоскость нижне- го основания в точке, удалённой от центра этого основания на 12 см. Этот луч пересекает образующую цилиндра в точке, удалён- ной от плоскости нижнего основания на 2 см. Найдите высоту ци- линдра.
Решение (для класса 11, целевое — понять подробно)
Дано:
- Радиус основания цилиндра r = 9 см.
- Основания на параллельных плоскостях, расстояние между ними — высота h (неизвестна).
- Пусть O — центр нижнего основания, O′ — центр верхнего основания. М — середина отрезка OO′; через M проведён луч, который пересекает плоскость нижнего основания в точке P так, что расстояние OP = 12 см.
- Луч пересекает образующую цилиндра в точке, расстояние этой точки от нижнего основания (то есть её z-координата) равно 2 см. Значит, точка пересечения образующей имеет z = 2.
Нужно найти высоту h.
- Введём систему координат.
- Пусть нижняя плоскость основания — z = 0, верхняя — z = h.
- Ось цилиндра — ось z; центр нижнего основания O = (0,0,0), центр верхнего O′ = (0,0,h).
- Медиана отрезка OO′ имеет координаты M = (0,0,h/2).
Положение точки P на плоскости z = 0. Так как OP = 12 и мы можем повернуть координатную систему вокруг оси цилиндра без изменения задачи, без ограничения общности можно взять P на оси Ox: P = (12, 0, 0).
Параметризация луча LM через M и P. Направляющий вектор d = P − M = (12, 0, −h/2). Линейная траектория луча: x(t) = 0 + t·12 = 12t y(t) = 0 z(t) = h/2 + t(−h/2) = (h/2)(1 − t) где t = 0 соответствует точке M, t = 1 — точке P.
Условия на точку пересечения образующей. Точка пересечения образующей цилиндра имеет радиус r = 9, т.е. на этой высоте sqrt(x^2 + y^2) = 9. Поскольку в нашем выборе y = 0, получаем: x^2 = 9^2 = 81 ⇒ |x| = 9.
Найдём t, соответствующий z = 2. Из z(t) = (h/2)(1 − t) следует: (h/2)(1 − t) = 2 ⇒ 1 − t = 4/h ⇒ t = 1 − 4/h.
Подстановка в условие радиуса. x = 12t = 12(1 − 4/h) = 12 − 48/h. Требуется x^2 = 81: (12 − 48/h)^2 = 81.
Решим относительно h: 12 − 48/h = ±9.
- Если 12 − 48/h = 9, то 48/h = 3 ⇒ h = 16.
- Если 12 − 48/h = −9, то 48/h = 21 ⇒ h = 48/21 = 16/7.
Второй вариант даёт t = 1 − 4/h = 1 − 4/(16/7) = 1 − 7/4 = −3/4, т.е. пересечение на z = 2 происходило бы за пределами заданного луча (в обратном направлении от M к P). Это противоречит условию задачи (луч начинается в M и идёт в направлении P). Следовательно, допустимо только h = 16.
- Проверка для h = 16. При h = 16: t = 1 − 4/16 = 3/4, x = 12t = 9, даёт радиус 9 на высоте z = (h/2)(1 − t) = 8·(1 − 3/4) = 8·1/4 = 2. Всё согласуется.
Ответ: высота цилиндра h = 16 см.
