F(x)=x^2+x+1,x0=1

Разберём несколько типичных задач, которые можно трактовать по записи f(x)=x^2+x+1 и x0=1. Так как конкретная формулировка задачи не дана, ниже приведены наиболее частые варианты и подробные решения. 1) Линейное приближение (ряд Тейлора) вокруг точки x0 = 1 - Вычислим значения и производные в точке 1: - f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3 - f'(x) = 2x + 1, значит f'(1) = 3 - f''(x) = 2 (постоянная) - Первая линейная аппроксимация (полином порядка 1) около x0: L1(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) = 3 + 3(x - 1) = 3x Погрешность по первому порядку: E1(x) = f(x) - L1(x) = (x^2 + x + 1) - 3x = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2. - Вторая аппроксимация (полином порядка 2) около x0: Т2(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + (f''(1)/2)(x - 1)^2 = 3 + 3(x - 1) + (2/2)(x - 1)^2 = 3 + 3(x - 1) + (x - 1)^2 = (x - 1)^2 + 3(x - 1) + 3 Но для данной квадратичной функции эта аппроксимация совпадает с самой функцией: Т2(x) = f(x) = x^2 + x + 1. - Вывод: - Линейное приближение около x0=1 даёт L1(x) = 3x. - Точная функция на любом x может быть получена как второй порядочный член ряда Тейлора, и для квадратичной функции этого достаточно: Т2(x) = f(x). 2) Итерационный процесс x_{n+1} = f(x_n) с x0 = 1 - Пусть строим последовательность по правилу x_{n+1} = f(x_n) = x_n^2 + x_n + 1, начиная с x0 = 1. - Вычислим первые члены: - x1 = f(x0) = f(1) = 3 - x2 = f(x1) = f(3) = 3^2 + 3 + 1 = 13 - x3 = f(x2) = f(13) = 13^2 + 13 + 1 = 169 + 13 + 1 = 183 - x4 = f(x3) = f(183) = 183^2 + 183 + 1 = 33489 + 183 + 1 = 33673 - Наблюдение: - Члены быстро растут и стремятся к бесконечности; для этой последовательности нет реального фиксированного точки (решение x = f(x) даёт x^2 + 1 = 0, нет вещественного корня). - Гетерогенная скорость роста: примерно экспоненциально-быстрый рост из-за квадратичной зависимости. 3) Другие заметки (если задача была про график, минимумы и корни) - Функция f(x) = x^2 + x + 1: - Дискриминант квадратичной части: D = 1 - 4 = -3 < 0, значит у уровня нет вещественных корней: f(x) ни при каких вещественных x не обращается в ноль. - Вершина параболы находится в x = -b/(2a) = -1/2, значение минимума: f(-1/2) = (1/4) - (1/2) + 1 = 3/4. То есть f(x) ≥ 3/4 для всех вещественных x. - Производная f'(x) = 2x + 1. Она положительна для x > -1/2 и отрицательна для x < -1/2, что соответствует возвышению вправо от точки минимума. Как уточнить задание - Если ваша задача была именно про ряд Тейлора и ближайшее поведение near x0=1, то раздел 1 даст искомый ответ. - Если задача про последовательность x_{n+1} = f(x_n) с x0 = 1, смотрите раздел 2. - Сообщите, какую именно задачу вы хотели решить, и я продолжу с нужной вам формулировкой и примерами.