X²-8x +7

Задача: разложить квадратное выражение x^2 - 8x + 7 и/или решить уравнение x^2 - 8x + 7 = 0.

1. Факторизация (разложение на множители)

• Ищем два числа, которые умножаются на c = 7 и суммируются с коэффициентом b = -8 так, чтобы их сумма была 8 (потому что при факторизации вида (x - m)(x - n) получаем x^2 - (m+n)x + mn).
• Подходящие числа: 1 и 7 (1 * 7 = 7, 1 + 7 = 8).
• Значит, x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7).

Проверка: (x - 1)(x - 7) = x^2 - 7x - x + 7 = x^2 - 8x + 7. Так и есть.

2. Решение уравнения x^2 - 8x + 7 = 0

• Из факторизации получаем (x - 1)(x - 7) = 0.
• Следовательно, x = 1 или x = 7.

3. Другие способы получить те же корни

• Completing the square: x^2 - 8x + 7 = 0 x^2 - 8x + 16 = 9 (x - 4)^2 = 9 x - 4 = ±3 x = 4 ± 3 → x = 7 или x = 1.

• Quadratic formula: D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4·1·7 = 64 - 28 = 36 x = [8 ± sqrt(36)] / 2 = (8 ± 6)/2 → x = 7 или x = 1.

4. Дополнительная справка

• Вершина параболы y = x^2 - 8x + 7 находится в точке x = -b/(2a) = 8/2 = 4; значение функции в вершине y = (4)^2 - 8·4 + 7 = -9. Открывается вверх (a > 0), следовательно дваReal корня, которые мы нашли: 1 и 7.

Итог

• Факторизация: x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7).
• Корни уравнения x^2 - 8x + 7 = 0: x = 1 и x = 7.