представить в тригонометрической и показательной формах числа а) -3+4i б) 3(cos10° - i sin10°) в) 1+i * tg183

Ниже даны пошаговые решения для каждого числа в тригонометрической и показательной формах.

1. a) z = -3 + 4i

• Шаг 1. Модуль r и аргумент φ
  • r = sqrt((-3)^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = 5
  • Положение точки: Re = -3 (отрицательно), Im = 4 (положительно) → угол в II четверти.
  • φ = π − arctan(|Im/Re|) = π − arctan(4/3) ≈ 180° − 53.1301° = 126.8699°
  • В радианах: φ ≈ 2.2142974358 rad
• Шаг 2. Тригономическая форма
  • z = 5 [cos(126.8699°) + i sin(126.8699°)]
  • или z = 5 (cos φ + i sin φ) с φ ≈ 126.87°
• Шаг 3. Показательная форма
  • z = 5 e^{i φ} = 5 e^{i 2.2142974358} rad
  • альтернативно с углом в градусах: z = 5 e^{i 126.8699°}
• Кратко: z = 5 cis 126.8699° = 5 e^{i 2.2143}rad

2. b) z = 3 (cos 10° − i sin 10°)

• Шаг 1. Приведение к стандартной форме cis
  • cos 10° − i sin 10° = cos(−10°) + i sin(−10°) = cos(−10°) + i sin(−10°)
• Шаг 2. Тригономическая форма
  • z = 3 [cos(−10°) + i sin(−10°)]
  • можно записать как z = 3 (cos 350° + i sin 350°) (то же самое, угол 350° эквивалентен −10°)
• Шаг 3. Показательная форма
  • z = 3 e^{−i 10°} = 3 e^{−i π/18} rad
• Кратко: z = 3 cis (−10°) = 3 cis 350° = 3 e^{−i 10°}

3. c) z = 1 + i · tan 183°

• Прежде заметим: tan(183°) = tan(180° + 3°) = tan 3°.
  • Поэтому z = 1 + i tan 3°
• Шаг 1. Приведение к форме с модулем и аргументом
  • Используем тождество: 1 + i tan θ = sec θ [cos θ + i sin θ], где θ = 3°
  • Так как cos 3° > 0, sec 3° = 1 / cos 3° > 0
• Шаг 2. Тригономическая форма
  • z = sec 3° [cos 3° + i sin 3°]
  • Здесь r = sec 3° и φ = 3°
  • Можно записать: z = sec 3° (cos 3° + i sin 3°)
• Шаг 3. Показательная форма
  • z = sec 3° e^{i 3°} = sec 3° e^{i π/60} rad
• Близкие числовые значения:
  • tan 3° ≈ 0.052408
  • sec 3° = 1 / cos 3° ≈ 1.0013715
  • Таким образом z ≈ 1.00137 (cos 3° + i sin 3°)

Итого:

• a) -3 + 4i = 5 (cos 126.8699° + i sin 126.8699°) = 5 e^{i 2.2143} рад
• b) 3(cos 10° − i sin 10°) = 3 (cos −10° + i sin −10°) = 3 e^{−i 10°} = 3 cis (−10°)
• c) 1 + i tan 183° = sec 3° (cos 3° + i sin 3°) = sec 3° e^{i 3°} = sec 3° cis (3°)