Представить в тригонометрической и показательной формах числа а) -3+4i б) 3(cos10° - i sin10°) в) 1+i * tg183

Ниже даны пошаговые решения для каждого числа в тригонометрической и показательной формах. 1) a) z = -3 + 4i - Шаг 1. Модуль r и аргумент φ - r = sqrt((-3)^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = 5 - Положение точки: Re = -3 (отрицательно), Im = 4 (положительно) → угол в II четверти. - φ = π − arctan(|Im/Re|) = π − arctan(4/3) ≈ 180° − 53.1301° = 126.8699° - В радианах: φ ≈ 2.2142974358 rad - Шаг 2. Тригономическая форма - z = 5 [cos(126.8699°) + i sin(126.8699°)] - или z = 5 (cos φ + i sin φ) с φ ≈ 126.87° - Шаг 3. Показательная форма - z = 5 e^{i φ} = 5 e^{i 2.2142974358} rad - альтернативно с углом в градусах: z = 5 e^{i 126.8699°} - Кратко: z = 5 cis 126.8699° = 5 e^{i 2.2143}rad 2) b) z = 3 (cos 10° − i sin 10°) - Шаг 1. Приведение к стандартной форме cis - cos 10° − i sin 10° = cos(−10°) + i sin(−10°) = cos(−10°) + i sin(−10°) - Шаг 2. Тригономическая форма - z = 3 [cos(−10°) + i sin(−10°)] - можно записать как z = 3 (cos 350° + i sin 350°) (то же самое, угол 350° эквивалентен −10°) - Шаг 3. Показательная форма - z = 3 e^{−i 10°} = 3 e^{−i π/18} rad - Кратко: z = 3 cis (−10°) = 3 cis 350° = 3 e^{−i 10°} 3) c) z = 1 + i · tan 183° - Прежде заметим: tan(183°) = tan(180° + 3°) = tan 3°. - Поэтому z = 1 + i tan 3° - Шаг 1. Приведение к форме с модулем и аргументом - Используем тождество: 1 + i tan θ = sec θ [cos θ + i sin θ], где θ = 3° - Так как cos 3° > 0, sec 3° = 1 / cos 3° > 0 - Шаг 2. Тригономическая форма - z = sec 3° [cos 3° + i sin 3°] - Здесь r = sec 3° и φ = 3° - Можно записать: z = sec 3° (cos 3° + i sin 3°) - Шаг 3. Показательная форма - z = sec 3° e^{i 3°} = sec 3° e^{i π/60} rad - Близкие числовые значения: - tan 3° ≈ 0.052408 - sec 3° = 1 / cos 3° ≈ 1.0013715 - Таким образом z ≈ 1.00137 (cos 3° + i sin 3°) Итого: - a) -3 + 4i = 5 (cos 126.8699° + i sin 126.8699°) = 5 e^{i 2.2143} рад - b) 3(cos 10° − i sin 10°) = 3 (cos −10° + i sin −10°) = 3 e^{−i 10°} = 3 cis (−10°) - c) 1 + i tan 183° = sec 3° (cos 3° + i sin 3°) = sec 3° e^{i 3°} = sec 3° cis (3°)