x3-14x2+49х+3 найти наибольшее значение функции

Функция: f(x) = x^3 - 14x^2 + 49x + 3.

Важно понять: на всей действительной оси максимум у кубической функции обычно отсутствует (она не ограничена сверху). Но у неё есть локальные экстремумы.

1. Найдём критические точки

• Производная: f'(x) = 3x^2 - 28x + 49.
• Находим нули производной: 3x^2 - 28x + 49 = 0. Дискриминант: D = (-28)^2 - 4349 = 784 - 588 = 196, sqrt D = 14. x = (28 ± 14) / (2*3) = (28 ± 14)/6 → x1 = 7/3, x2 = 7.

2. Классификация экстремумов

• Вторая производная: f''(x) = 6x - 28.
• При x = 7/3: f''(7/3) = 6*(7/3) - 28 = 14 - 28 = -14 < 0 → локальный максимум.
• При x = 7: f''(7) = 42 - 28 = 14 > 0 → локальный минимум.

3. Значения функции в критических точках

• f(7/3) = (7/3)^3 - 14*(7/3)^2 + 49*(7/3) + 3 = 343/27 - 686/9 + 343/3 + 3 = 1453/27 ≈ 53.815.
• f(7) = 7^3 - 147^2 + 497 + 3 = 343 - 686 + 343 + 3 = 3.

4. Вывод

• Функция имеет локальный максимум в x = 7/3 со значением f(7/3) = 1453/27.
• Однако на всей действительной оси глобального (верхнего) максимума нет, потому что при x → +∞ функция растёт как x^3 и стремится к бесконечности.

Если задача всё же требует максимум на конкретном ограниченном интервале, скажите его границы — и я посчитаю максимум именно там.