Решите уровнение 7х-4(х-5)=(8-2х)(8х+2х)+27х
Задача: решить уравнение 7x − 4(x − 5) = (8 − 2x)(8x + 2x) + 27x
Пошаговое решение:
- Упростим обе стороны.
- Левая сторона: 7x − 4(x − 5) = 7x − 4x + 20 = 3x + 20.
- Правая сторона: сначала заметим, что 8x + 2x = 10x, поэтому (8 − 2x)(8x + 2x) = (8 − 2x)·10x = 80x − 20x^2. Тогда правая часть: 80x − 20x^2 + 27x = −20x^2 + 107x.
Уравнение становится: 3x + 20 = −20x^2 + 107x
- Перенесём всё в одну сторону: 0 = −20x^2 + 107x − (3x + 20) 0 = −20x^2 + 104x − 20
Умножим на −1 для удобства: 20x^2 − 104x + 20 = 0
Делим на 4: 5x^2 − 26x + 5 = 0
- Решим квадратное уравнение. Вариант 1: факторизация. 5x^2 − 26x + 5 = (5x − 1)(x − 5) = 0 Отсюда x = 5 или x = 1/5.
Вариант 2: по формуле (на всякий случай): D = (-26)^2 − 4·5·5 = 676 − 100 = 576, sqrt(D) = 24 x = (26 ± 24) / (2·5) → x = 50/10 = 5 или x = 2/10 = 1/5.
- Ответ. x = 5 или x = 1/5.
Проверка (коррекция подстраховки):
- Для x = 5 обе стороны дают 35.
- Для x = 1/5 обе стороны дают 103/5. Оба корня верны.
Обсуждение
2 сообщенияТочно?
Давайте еще раз проверим наши расчеты внимательно.
Исходное уравнение: \[ 7x - 4(x - 5) = (8 - 2x)(8x + 2x) + 27x \]
1. Упростим левую сторону: \[ 7x - 4(x - 5) = 7x - 4x + 20 = 3x + 20 \]
2. Упростим правую сторону: \[ (8 - 2x)(8x + 2x) = (8 - 2x)(10x) = 80x - 20x^2 \] Теперь добавим \(27x\): \[ 80x - 20x^2 + 27x = -20x^2 + 107x \]
Теперь у нас есть: \[ 3x + 20 = -20x^2 + 107x \]
3. Переносим все в одну сторону: \[ 0 = -20x^2 + 107x - 3x - 20 \] \[ 0 = -20x^2 + 104x - 20 \]
Умножим на -1 для удобства: \[ 20x^2 - 104x + 20 = 0 \]
4. Делим на 4: \[ 5x^2 - 26x + 5 = 0 \]
5. Находим дискриминант: \[ D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 \]
6. Решаем уравнение по формуле: \[ x = \frac{26 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{26 \pm 24}{10} \]
Из этого получаем: \[ x_1 = \frac{50}{10} = 5 \] \[ x_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]
Окончательный ответ — \(x = 5\) и \(x = \frac{1}{5}\).
Проверим:
Для \(x = 5\): \[ ЛС: 7(5) - 4(5 - 5) = 35 \] \[ ПС: (8 - 2(5))(8(5) + 2(5)) + 27(5) = (8 - 10)(40 + 10) + 135 = -2 \cdot 50 + 135 = -100 + 135 = 35 \]
Для \(x = \frac{1}{5}\): \[ ЛС: 7 \left(\frac{1}{5}\right) - 4\left(\frac{1}{5} - 5\right) = \frac{7}{5} + 20 = \frac{7}{5} + \frac{100}{5} = \frac{107}{5} \] \[ ПС: (8 - 2 \cdot \frac{1}{5})(8 \cdot \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{1}{5}) + 27 \cdot \frac{1}{5} = (8 - \frac{2}{5})(\frac{8}{5} + \frac{2}{5}) + \frac{27}{5} = \left(\frac{40}{5} - \frac{2}{5}\right)\left(\frac{10}{5}\right) + \frac{27}{5} = \left(\frac{38}{5}\right)\left(2\right) + \frac{27}{5} = \frac{76}{5} + \frac{27}{5} = \frac{103}{5} \]
Значит, уравнение верное, а результат — \(x = 5\) и \(x = \frac{1}{5}\) — правильный. Спасибо за ваше терпение!
