докажите, что функция g(x) = 4/(3x+1) убывает на промежутке (-бесконечность, -1/3)

Задача: доказать, что g(x) = 4/(3x+1) убывает на промежутке (-∞, -1/3).

Шаг 1. Область определения

• Функция определена там, где 3x+1 ≠ 0, то есть x ≠ -1/3.
• Промежуток (-∞, -1/3) полностью лежит в области определения, поэтому можно говорить о монотонии на этом промежутке.

Шаг 2. Производная и ее знак

• Запишем производную через цепное правило: g(x) = 4(3x+1)^{-1} g'(x) = 4 · (-1) · (3x+1)^{-2} · 3 = -12/(3x+1)^2.
• Так как для всех x ≠ -1/3 квадрат знаменателя (3x+1)^2 положителен, знаки числителя и знаменателя таковы: g'(x) = -12/(3x+1)^2 < 0.
• Следовательно, производная отрицательна на всем промежутке области определения.

Вывод по Шагу 2

• Поскольку g'(x) < 0 для всех x ∈ (-∞, -1/3), функция строго убывает на этом промежутке.

Дополнительная аргументация (опционально)

• Пусть x1 < x2 и оба принадлежат (-∞, -1/3). Тогда t1 = 3x1+1 и t2 = 3x2+1 удовлетворяют t1 < t2 < 0.
• Функция h(t) = 4/t на отрицательных t является убывающей, потому что h'(t) = -4/t^2 < 0 для t ≠ 0.
• Или напрямую: при t1 < t2 < 0 имеем 1/t1 > 1/t2, значит 4/t1 > 4/t2, то есть g(x1) > g(x2).
• Это дополнительно подтверждает, что g убывает на (-∞, -1/3).

Замечание

• По мере приближения x к -1/3 слева, 3x+1 стремится к 0-, поэтому g(x) стремится к -∞, что согласуется с убыванием на этом промежутке.