y=4x+1

Детальное разбор y = 4x + 1 (для цели "Понять").

1. Что это за функция

• Это линейная функция в форме y = mx + b, где:
  • m — наклон (граница “склон” графика),
  • b — y-перехват (значение y, когда x = 0).
• У нашей функции m = 4, b = 1.

2. Что означает m = 4

• При увеличении x на 1, y увеличится на 4.
• График — прямая, которая поднимается вправо, очень крутая (наклон 4).

3. Пересечения осей и важные точки

• Y-перехват: подставляем x = 0 → y = 4·0 + 1 = 1. Точка (0, 1).
• X-пересечение (когда y = 0): 0 = 4x + 1 → x = -1/4. Точка (-1/4, 0).
• Другие простые точки: при x = 1 → y = 5; при x = -1 → y = -3. Точки (1, 5) и (-1, -3).

4. Домены и множество значений

• Область определения: все real-числа. Domain = R.
• Область значений (range): все real-числа. Range = R.
• Функция строго возрастает (монотонно возрастает) на всей своей области.

5. Как построить график

• Начинаем с точки (0, 1) — y-перехват.
• Добавляем ещё одну точку, например (1, 5) (или (-1, -3)).
• Соединяем их прямой. Линия пересекает ось y в 1 и имеет наклон 4.

6. Формы представления

• Стандартная форма: 4x - y = -1 (или y = 4x + 1 в обычной форме).
• Обратная функция (инверсия): если y = 4x + 1, то x = (y - 1)/4. Значит f^-1(x) = (x - 1)/4.

7. Примеры вычислений (быстрые задания)

• f(0) = 1
• f(2) = 4·2 + 1 = 9
• f(-2) = 4·(-2) + 1 = -7
• Найти x, чтобы y = 0: x = -1/4
• Значение при x = -3: f(-3) = 4·(-3) + 1 = -11

8. Короткое резюме трансформаций

• Можно увидеть как преобразование базовой функции y = x:
  • вертикальное растяжение в 4 раза (y = 4x),
  • затем вертикальное смещение вверх на 1 (добавление +1).

Если хочешь, могу привести дополнительные упражнения: найти график по заданным точкам, построить график с шагом 0.5 по x, или сравнить с другими линейными функциями (например, y = 2x + 3, y = -x + 4) и обсудить различия в наклоне и смещении.