Геометрия · 9 класс Задача №3375284
А
А
биссектриса угла А параллелограмма АBCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=7,CK= 12
Решение в шагах (для геометрии 9 класса; цель: понять).
Дано: параллелограмм ABCD, биссектриса угла A через AK пересекает сторону BC в точке K. BK = 7, CK = 12. Найти периметр параллелограмма.
Обозначим стороны: AB = x, BC = y. Так как BK и CK лежат на BC, то y = BK + CK = 7 + 12 = 19. Значит BC = 19. AB пока неизвестна.
Введём координатное решение (чтобы получить связь между AB и BK).
- Поместим A в начало координат: A = (0, 0).
- Пусть B = (x, 0) ( AB имеет длину x и лежит вдоль оси x ).
- Вектор AD имеет длину y = 19 и координаты D = (p, q) такие, что p^2 + q^2 = 19^2.
- Тогда C = B + (D − A) = (x + p, q).
- Направление биссектрисы угла DAB.
- Единичный вектор вдоль AB: e1 = (1, 0).
- Единичный вектор вдоль AD: e2 = (p, q)/19.
- Направление биссектрисы AK совпадает с суммой этих вектором: v = e1 + e2 = (1 + p/19, q/19).
- Уравнение прямой AK: A + t v = ( t(1 + p/19), t q/19 ).
- Пересечение AK со стороны BC.
- Параметризуем BC: B + s (C − B) = (x, 0) + s(p, q) = (x + s p, s q), где s ∈ [0, 1].
- При пересечении должны совпасть координаты: t(1 + p/19) = x + s p, t(q/19) = s q.
- Если q ≠ 0, из второго уравнения получаем s = t/19.
- Подставим в первое: t(1 + p/19) = x + (t/19) p ⇒ t = x.
- Следовательно s = x/19.
Значит BK = s · BC = (x/19) · 19 = x. То есть BK равна AB.
По условию BK = 7, значит AB = x = 7. Сторона BC равна 19.
Периметр параллелограмма: P = 2(AB + BC) = 2(7 + 19) = 2 · 26 = 52.
Проверка согласуется с данными: CK = BC − BK = 19 − 7 = 12, что дано.
Ответ: периметр параллелограмма равен 52.
