Биссектриса угла А параллелограмма АBCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=7,CK= 12

Решение в шагах (для геометрии 9 класса; цель: понять). Дано: параллелограмм ABCD, биссектриса угла A через AK пересекает сторону BC в точке K. BK = 7, CK = 12. Найти периметр параллелограмма. 1) Обозначим стороны: AB = x, BC = y. Так как BK и CK лежат на BC, то y = BK + CK = 7 + 12 = 19. Значит BC = 19. AB пока неизвестна. 2) Введём координатное решение (чтобы получить связь между AB и BK). - Поместим A в начало координат: A = (0, 0). - Пусть B = (x, 0) ( AB имеет длину x и лежит вдоль оси x ). - Вектор AD имеет длину y = 19 и координаты D = (p, q) такие, что p^2 + q^2 = 19^2. - Тогда C = B + (D − A) = (x + p, q). 3) Направление биссектрисы угла DAB. - Единичный вектор вдоль AB: e1 = (1, 0). - Единичный вектор вдоль AD: e2 = (p, q)/19. - Направление биссектрисы AK совпадает с суммой этих вектором: v = e1 + e2 = (1 + p/19, q/19). - Уравнение прямой AK: A + t v = ( t(1 + p/19), t q/19 ). 4) Пересечение AK со стороны BC. - Параметризуем BC: B + s (C − B) = (x, 0) + s(p, q) = (x + s p, s q), где s ∈ [0, 1]. - При пересечении должны совпасть координаты: t(1 + p/19) = x + s p, t(q/19) = s q. - Если q ≠ 0, из второго уравнения получаем s = t/19. - Подставим в первое: t(1 + p/19) = x + (t/19) p ⇒ t = x. - Следовательно s = x/19. Значит BK = s · BC = (x/19) · 19 = x. То есть BK равна AB. 5) По условию BK = 7, значит AB = x = 7. Сторона BC равна 19. 6) Периметр параллелограмма: P = 2(AB + BC) = 2(7 + 19) = 2 · 26 = 52. 7) Проверка согласуется с данными: CK = BC − BK = 19 − 7 = 12, что дано. Ответ: периметр параллелограмма равен 52.