В прямоугольной треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 25 см, катетер АС равен 24 см. Найдите : а) sin A ; б) cos A ; в) tg B ; г) ctg B ; д) tg B × ctg B ; e) sin2 A + cos2 A.

Задача по геометрии, класс 9, цель — понять объяснение подробнее.

Дано: прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB = 25 см, один катет AC = 24 см. Так как AB — гипотенуза, угол C равен 90°. Найдём второй катет BC: BC^2 = AB^2 − AC^2 = 25^2 − 24^2 = 625 − 576 = 49 ⇒ BC = 7 см.

Определяем необходимые отношения:

• Opposite(A) = BC = 7, Adjacent(A) = AC = 24, Hypotenuse = AB = 25.
• Для B: Opposite(B) = AC = 24, Adjacent(B) = BC = 7, Hypotenuse = AB = 25.

а) sin A = противолежащий катет к углу A делён на гипотенузу = BC/AB = 7/25.

б) cos A = прилежащий катет к углу A делён на гипотенузу = AC/AB = 24/25.

в) tg B = tan B = противолежащий к B делён на прилежащий к B = AC/BC = 24/7.

г) ctg B = cot B = 1 / tan B = BC/AC = 7/24.

д) tg B × ctg B = (24/7) × (7/24) = 1.

e) sin^2 A + cos^2 A = (7/25)^2 + (24/25)^2 = 49/625 + 576/625 = 625/625 = 1. Это тождество синуса и косинуса.

Итого:

• a) sin A = 7/25
• б) cos A = 24/25
• в) tg B = 24/7
• г) ctg B = 7/24
• д) tg B × ctg B = 1
• e) sin^2 A + cos^2 A = 1