С помощью теоремы косинусов решить треугольник ABC, если угол А =60 градусов, угол В=40 градусов, с=14

Дано: A = 60°, B = 40°, c = 14. Тогда C = 180° − (A + B) = 80°. Обозначим стороны так: a = BC, b = AC, c = AB (противолежащие A, B, C соответственно). Цель: решить треугольник с помощью теоремы косинусов. 1) Запишем теорему косинусов для сторон a и b: - a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A - b^2 = a^2 + c^2 − 2ac cos B Подставим cos A = cos 60° = 1/2, cos B = cos 40° ≈ 0.7660444431, c^2 = 196: - a^2 = b^2 + 196 − 14b - b^2 = a^2 + 196 − 28a cos 40° 2) Чтобы решить систему, сложим две уравнения так, чтобы избавиться от a^2 и b^2: Из первой: a^2 − b^2 = 196 − 14b Из второй: b^2 − a^2 = 196 − 28a cos 40° Суммируя, 0 = 392 − 14b − 28a cos 40° и делим на 14: b + 2a cos 40° = 28 Отсюда выражаем b: b = 28 − 2a cos 40°. 3) Подставим b в первое уравнение a^2 = b^2 + 196 − 14b: a^2 = (28 − 2a cos 40°)^2 + 196 − 14(28 − 2a cos 40°). После упрощения получаем квадратное уравнение относительно a: (4 cos^2 40° − 1) a^2 − 84 a cos 40° + 588 = 0. Численно cos 40° ≈ 0.7660444431, так что коэффициенты примерно: 1.347296355 a^2 − 64.34773338 a + 588 = 0. Решив квадратное уравнение, получаем два корня. Правильный физически корень (со стороны против более длинной, чем другие) — меньшее значение: a ≈ 12.311. 4) Найдём b по линейному соотношению b = 28 − 2a cos 40°: b ≈ 28 − 2 · 12.311 · 0.7660444431 ≈ 9.138. 5) Проверка методом синусов (для согласования): a / sin A = c / sin C → a = c · sin A / sin C. sin A = sin 60° = √3/2 ≈ 0.8660254, sin C = sin 80° ≈ 0.9848078: a ≈ 14 · 0.8660254 / 0.9848078 ≈ 12.311 — согласуется. Аналогично b ≈ c · sin B / sin C = 14 · sin 40° / sin 80° ≈ 14 · 0.6427876 / 0.9848078 ≈ 9.138 — согласуется. Итого решения: - a ≈ 12.31 - b ≈ 9.14 - c = 14 Углы остаются: A = 60°, B = 40°, C = 80° (проверка через сумма углов). 6) Площадь треугольника (вариант через косинусы или синусы): K = (1/2)ab sin C ≈ 0.5 · 12.311 · 9.138 · sin 80° ≈ 55.4. Также можно по формуле K = (1/2) c^2 sin A sin B / sin C ≈ 55.4. Ответ: - a ≈ 12.31 - b ≈ 9.14 - c = 14 - Стороны и углы удовлетворяют теореме косинусов и синусов; площадь ≈ 55.4 геометрических единиц².