R1=4 Om R2=2 Om R3=3 Om R4=8 Om R5=5 Om R6=2 Om
Ниже подробное решение задачи по эквивалентному сопротивлению цепи.
Задача (параметры):
- R1 = 4 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 3 Ом, R4 = 8 Ом, R5 = 5 Ом, R6 = 2 Ом.
- Источник напряжения U подключен слева между верхним узлом (перед R1) и нижним общим узлом (грунту).
Идея решения:
- R1 находится последовательно перед остальной частью цепи. Значит общую эквивалентную сопротивление цепи можно записать как R_total = R1 + R_A, где R_A — эквивалентная сопротивление узла A (после R1) к земле.
- Чтобы найти R_A, применим тестовое напряжение Va = 1 В к узлу A и посчитаем ток I, который протекает в сеть от этого узла к земле. Тогда R_A = Va / I.
- Цепь после узла A состоит из трех обходов к земле через узлы B и C:
- прямой путь A → R2 → земля,
- путь A → R3 → B → R5 → C → R6 → земля,
- путь A → R4 → C → R6 → земля, включая связь B–C через R5 и A–B через R3, A–C через R4.
Расчёт (nodal-анализ) при Va = 1 В: Обозначим напряжения узлов:
- Va = 1 В (зададим тестовым источником),
- Vb — напряжение узла B,
- Vc — напряжение узла C.
Классические уравнения КЛЗ:
Узел B (без внешнего источника): (Vb − Va)/R3 + (Vb − Vc)/R5 = 0 Подставляем Va = 1, R3 = 3, R5 = 5: ( Vb − 1)/3 + (Vb − Vc)/5 = 0 Умножаем на 15: 5(Vb − 1) + 3(Vb − Vc) = 0 8Vb − 3Vc = 5 …(1)
Узел C: (Vc − Va)/R4 + (Vc − Vb)/R5 + Vc/R6 = 0 Подставляем Va = 1, R4 = 8, R5 = 5, R6 = 2: (Vc − 1)/8 + (Vc − Vb)/5 + Vc/2 = 0 Умножаем на 40: 5(Vc − 1) + 8(Vc − Vb) + 20Vc = 0 33Vc − 8Vb = 5 …(2)
Решая систему (1) и (2): 8Vb − 3Vc = 5 -8Vb + 33Vc = 5
Складывая эти уравнения: 30Vc = 10 → Vc = 1/3 ≈ 0.3333 В Из (1): 8Vb − 3(1/3) = 5 → 8Vb − 1 = 5 → Vb = 6/8 = 0.75 В
Теперь найдём ток из узла A в сеть: I = I_A->R2 + I_A->R3 + I_A->R4 I_A->R2 = Va/R2 = 1 / 2 = 0.5 А I_A->R3 = (Va − Vb)/R3 = (1 − 0.75)/3 = 0.25 / 3 ≈ 0.08333 А I_A->R4 = (Va − Vc)/R4 = (1 − 0.3333)/8 = 0.6667 / 8 ≈ 0.08333 А
Итого I ≈ 0.5 + 0.08333 + 0.08333 = 0.66667 А = 2/3 А.
Эквивалентное сопротивление узла A к земле: R_A = Va / I = 1 / (2/3) = 1.5 Ом.
И finally: R_total = R1 + R_A = 4 Ом + 1.5 Ом = 5.5 Ом.
Ответ:
- Эквивалентное сопротивление всей цепи, видимое источникy между верхним и нижним выводами: R_total = 5.5 Ом.
- Если приложить напряжение U, то ток в источник будет I_total = U / 5.5.
- При тестовом Va = 1 В в узле A напряжения оказались: Vb ≈ 0.75 В, Vc ≈ 0.333 В.
Если нужно, могу привести альтернативный способ расчета (например, преобразование сетей или использование символьного анализа) или привести числовые примеры для конкретного напряжения U.
