Горная тропа проходит в северном направлении 3 км, затем сворачивает на юго-восток и тянется 4 км, затем делает поворот на северо-восток и тянется еще 4 км. Последние 11 км она…
Горная тропа проходит в северном направлении 3 км, затем сворачивает на юго-восток и тянется 4 км, затем делает поворот на северо-восток и тянется еще 4 км. Последние 11 км она направлена строго на юг. Определите путь, который прошел по ней турист, и его перемещение. На какое расстояние сместился турист в восточном и южном направлениях? Начертите траекторию движения.
Задача решается как сумма векторов по направлениям и как суммарная длина пути.
Дано четыре участка пути:
северо-западно-д? Нет, просто north 3 км
юго-восток 4 км (SE)
северо-восток 4 км (NE)
юг 11 км
Разложим каждый участок на компоненты по осям восток–зарт (ось x) и север–юг (ось y, с севером как +):
- 1-й участок: N 3 км → (dx1, dy1) = (0, +3)
- 2-й участок: SE 4 км → угол 45° к оси восток, вниз dx2 = 4 cos45° = 4/√2 = 2√2 dy2 = -4 sin45° = -4/√2 = -2√2 → (dx2, dy2) = (2√2, -2√2)
- 3-й участок: NE 4 км → вверх и вправо dx3 = 4 cos45° = 2√2 dy3 = +4 sin45° = 2√2 → (dx3, dy3) = (2√2, 2√2)
- 4-й участок: S 11 км → (dx4, dy4) = (0, -11)
- Суммарные компоненты (перемещение старта до конца):
- dx = 0 + 2√2 + 2√2 + 0 = 4√2 ≈ 5.66 км (восток)
- dy = 3 + (-2√2) + 2√2 + (-11) = 3 - 11 = -8 км (юг)
Итого конечная точка относительно начала: (x, y) = (4√2, -8).
Путь маршрута (длина пути): 3 + 4 + 4 + 11 = 22 км.
Перемещение туриста (модуль и направление):
- Модуль перемещения = sqrt((4√2)^2 + (-8)^2) = sqrt(32 + 64) = sqrt(96) = 4√6 ≈ 9.80 км.
- Направление: угол с востоком в сторону юга tan(θ) = |dy| / dx = 8 / (4√2) = 8 / (5.656) ≈ 1.414 → θ ≈ 54.7°. Значит: направление примерно на 54.7° южнее востока (то есть в 4-й четверти).
- Координаты важные по ходу траектории (для наглядности):
- после 1-го участка: (0, 3)
- после 2-го: (2√2, 3 - 2√2)
- после 3-го: (4√2, 3)
- после 4-го: (4√2, -8) — конец маршрута
- Как нарисовать траекторию:
- Ось x направлена на восток, ось y на север.
- Начинаете в точке (0,0).
- Проведите оттуда прямую вверх на 3 км (до (0,3)).
- Затем отложите от этой точки участок длиной 4 км в направлении 45° вниз-вправо ( southeast ), заканчивая в (2√2, 3 - 2√2).
- Потом проведите участок длиной 4 км в направлении 45° вверх-вправо ( northeast ), до точки (4√2, 3).
- И, наконец, проведите последний участок длиной 11 км строго вниз (юг), до конца в (4√2, -8).
Ответ кратко:
- Путь туриста: 22 км (состоящий из N 3 км, SE 4 км, NE 4 км, S 11 км).
- Перемещение: dx = 4√2 км к востоку, dy = -8 км к югу.
- Модуль перемещения ≈ 9.80 км, направление ≈ 54.7° южнее востока.
- Конечная позиция относительно начала: (4√2, -8) км.
