придумать задачу, которую можно решить через граф и естественно решить её с чертежом

Задача, которую можно решить через граф и естественно показать чертежом

1. Условие (придуманная задача) На территории школьного кампуса есть сеть дорожек между 7 площадками: A — входной узел, B, C, D, E, F и G — выходной узел. Вес ребра обозначает расстояние между двумя площадками (в метрах). Нужен кратчайший путь от A до G.

Граф задан неориентированно следующими рёбрами и весами:

• A — B: 2
• A — C: 5
• B — C: 1
• B — D: 2
• C — D: 3
• C — E: 8
• D — F: 5
• E — F: 1
• E — G: 7
• F — G: 2

2. Как нарисовать чертёж (раскладка на бумаге)

• Разместите семь точек на листе и подпишите их: A, B, C, D, E, F, G.
• Соедините следующими отрезками (с указанием весов):
  • A–B (2), A–C (5)
  • B–C (1), B–D (2)
  • C–D (3), C–E (8)
  • D–F (5)
  • E–F (1), E–G (7)
  • F–G (2)
• Вблизи каждого ребра напишите его вес (расстояние).
• Если хочется наглядно увидеть путь, можно выделить выбранный маршрут цветом.

3. По шагам решение (алгоритм Дейкстры, пошагово) Цель: найти кратчайший путь из A в G.

• Начало: все вершины помечены как недоступные, расстояние до них бесконечно, кроме A = 0. dist(A)=0, dist(B)=∞, dist(C)=∞, dist(D)=∞, dist(E)=∞, dist(F)=∞, dist(G)=∞.

• Шаг 1: выбираем ближайшую непосещённую вершину к A — A (0). Обновляем соседей A:

  • через A к B: путь длиной 0 + 2 = 2 → dist(B)=2, предшественник(B)=A
  • через A к C: путь длиной 0 + 5 = 5 → dist(C)=5, предшественник(C)=A

  Непосещённые: B(2), C(5), D(∞), E(∞), F(∞), G(∞)

• Шаг 2: выбираем ближайшую — B (2). Обновляем соседей B:

  • к C через B: 2 + 1 = 3 < тек. dist(C)=5 → dist(C)=3, предшественник(C)=B
  • к D через B: 2 + 2 = 4 → dist(D)=4, предшественник(D)=B Остальные ребра от B уже учитываются.

  Непосещённые: C(3), D(4), E(∞), F(∞), G(∞)

• Шаг 3: выбираем ближайшую — C (3). Обновляем соседей C:

  • к D через C: 3 + 3 = 6, но текущий dist(D)=4, значит не улучшаем
  • к E через C: 3 + 8 = 11 → dist(E)=11, предшественник(E)=C

  Непосещённые: D(4), E(11), F(∞), G(∞)

• Шаг 4: выбираем ближайшую — D (4). Обновляем соседей D:

  • к F через D: 4 + 5 = 9 → dist(F)=9, предшественник(F)=D Остальные рёбра от D не улучшают текущее состояние.

  Непосещённые: F(9), E(11), G(∞)

• Шаг 5: выбираем ближайшую — F (9). Обновляем соседей F:

  • к E через F: 9 + 1 = 10 < dist(E)=11 → dist(E)=10, предшественник(E)=F
  • к G через F: 9 + 2 = 11 → dist(G)=11, предшественник(G)=F

  Непосещённые: E(10), G(11)

• Шаг 6: выбираем ближайшую — E (10). Обновляем соседей E:

  • к G через E: 10 + 7 = 17 > текущий dist(G)=11 → не улучшаем

  Непосещённые: G(11)

• Шаг 7: выбираем G (11). Можно закончить, найден кратчайший путь до G с длиной 11.

4. Ответ и маршрут

• Кратчайший путь из A в G: A → B → D → F → G
• Его длина: 2 + 2 + 5 + 2 = 11 метров
• Примечание: если на чертеже пометить этот путь цветом, видно, как он минимизирует суммарное расстояние.

5. Что можно проверить

• Можно попробовать найти другой путь вручную: A–C–D–F–G имеет длину 5 + 3 + 5 + 2 = 15, больше 11; A–C–E–G — 5 + 8 + 7 = 20; и т.д. Все они длиннее, чем 11, что подтверждает правильность найденного решения.

6. Альтернативы

• Это же задание можно сделать и с другим набором узлов/рёбер, чтобы получить другой маршрут. Или сделать без весов (по количеству дорожек) и применить BFS для нахождения кратчайшего пути в невзвешенном графе.
• Можно попросить ученика нарисовать схематический чертёж графа на бумаге и затем выписать шаги алгоритма Дейкстры по каждому шагу на листе.

Если хочешь, могу предложить другую задачу на граф с другим количеством вершин и весов или сделать без весов (для планшета или класса) и показать решение другим способом.