Найти область значения функции: y=2*5^(-2x^2)

Задача: Найти область значения функции y = 2 · 5^(−2x^2).

Пояснения и шаги:

• Для любого действительного x имеем x^2 ≥ 0, поэтому показатель −2x^2 ≤ 0.
• Следовательно t = −2x^2 принадлежит интервалу (−∞, 0].
• Функция 5^t возрастает с t. Значит для t ≤ 0 имеет значение в диапазоне (0, 1], причём:
  • максимум 1 достигается при t = 0 (когда x = 0);
  • предел при t → −∞ равен 0, но 0 не достигается.
• Умножая на 2 получаем y = 2 · 5^(−2x^2) ∈ (0, 2].
  • максимум y = 2 достигается при x = 0.
  • минимальное значение равняется 0 как предел при |x| → ∞, но никогда не достигается (y > 0).

Ответ: Область значения (range) функции y = 2 · 5^(−2x^2) равна (0, 2]. Все значения из этого промежутка достигаются для некоторых x ∈ ℝ.