Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если, AB||CD, уголA=углу C

Дано выпуклый четырехугольник ABCD с AB ∥ CD и ∠A = ∠C. Нужно доказать, что ABCD — параллелограмм.

Пошаговое решение:

1. Используем данное AB ∥ CD.

• Угол A это ∠DAB (угол между DA и AB).
• Так как AB ∥ CD, угол между DA и AB равен углу между DA и CD. Следовательно, ∠A = ∠DAB = ∠ADC (угол при вершине D между DA и DC).

2. Запишем угол C через другие стороны.

• Угол C это ∠BCD (угол между BC и CD).

3. По условию ∠A = ∠C.

• Из п.1 получаем ∠ADC = ∠BCD.

4. Сделаем вывод о параллельности AD и BC.

• В выпуклом четырехугольнике A и B лежат по одну сторону от прямой CD (поскольку AB ∥ CD).
• Значит лучи DA и CB лежат по одну сторону от CD.
• Если две прямые лучи DA и CB образуют одинаковые углы с одной и той же прямой CD (то есть ∠ADC = ∠BCD), то эти две прямые параллельны: DA ∥ CB.

5. Завершение.

• У нас есть AB ∥ CD (дано) и AD ∥ BC (получено).
• Значит ABCD имеет обе пары противоположных сторон параллельны и, следовательно, является параллелограммом.

Итого: из AB ∥ CD и ∠A = ∠C следует AD ∥ BC, поэтому ABCD — параллелограмм.