найти частное решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными y'=2y/x

Задача: найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными y' = 2y/x.

Чем руководствоваться: это уравнение можно записать как dy/dx = 2y/x, то есть разделить переменные и проинтегрировать.

Пошаговое решение

• Разделяем переменные: dy/y = 2 dx/x.
• Интегрируем обе стороны: ∫ dy/y = ∫ 2 dx/x → ln|y| = 2 ln|x| + C.
• Преобразуем: ln|y| = ln|x|^2 + C ⇒ ln(|y|/|x|^2) = C ⇒ |y|/|x|^2 = C1, где C1 — новая константа.
• Следовательно, y = C x^2, где C — произвольная константа (включая C = 0).

Проверка

• Если y = C x^2, то dy/dx = 2C x, а 2y/x = 2(C x^2)/x = 2C x. Совпадает, значит решение верно.

Частные примеры

• Выбор C = 1 даёт частное решение y = x^2.
• Выбор C = 0 даёт частное решение y ≡ 0.

Если дано начальное условие y(x0) = y0 с x0 ≠ 0, то C = y0/x0^2 и решение записывается как y = (y0/x0^2) x^2.

Замечание

• Решение определено на любом интервале, где x ≠ 0. В точке x = 0 уравнение имеет особую точку, поэтому стандартное решение там не определено. Но можно продолжить решение от любого отрезка без нуля.