представить число виде бесконечной десятичной периодической дроби 2/7, 87/65

Задача: представить числа в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

1. 2/7

• Выполним обычное деление 7 на 2.0...:
  • 7 into 20 -> 2, остаток 6
  • 7 into 60 -> 8, остаток 4
  • 7 into 40 -> 5, остаток 5
  • 7 into 50 -> 7, остаток 1
  • 7 into 10 -> 1, остаток 3
  • 7 into 30 -> 4, остаток 2
  • Остаток вернулся к 2, цикл повторяется.
• Цифры после запятой: 2, 8, 5, 7, 1, 4 и затем повторяется. Значит число имеет периодическую дробь длиной 6.
• Ответ: 2/7 = 0.\overline{285714} (то есть 0.285714285714...).

2. 87/65

• Выполним деление: 87 ÷ 65 = 1, остаток 22.
• Затем десятичная часть:
  • 22×10 = 220; 220 ÷ 65 = 3; остаток 25
  • 25×10 = 250; 250 ÷ 65 = 3; остаток 55
  • 55×10 = 550; 550 ÷ 65 = 8; остаток 30
  • 30×10 = 300; 300 ÷ 65 = 4; остаток 40
  • 40×10 = 400; 400 ÷ 65 = 6; остаток 10
  • 10×10 = 100; 100 ÷ 65 = 1; остаток 35
  • 35×10 = 350; 350 ÷ 65 = 5; остаток 25
• Теперь остаток 25 повторяется (он встречался ранее после первой десятичной цифры), значит начинается повторение.
• Цифры после запятой: 3, 3, 8, 4, 6, 1, 5 и затем повторение блока 384615. То есть после первого зафиксированного цифру 3, далее период длиной 6 цифт 384615 повторяется.
• Ответ: 87/65 = 1.3\overline{384615} (то есть 1.3384615384615... с периодом 384615).

Итак:

• 2/7 = 0.\overline{285714}
• 87/65 = 1.3\overline{384615}