противолежащие стороны параллелограмма

Задача: противолежащие стороны параллелограмма — какие свойства и как доказываются.

Ключевые утверждения

• В любом параллелограмме противоположные стороны параллельны друг другу и равны по длине.
  • AB ∥ CD и BC ∥ AD.
  • AB = CD и BC = AD.
• Как следствие: противоположные углы равны, диагонали пересекаются в их серединах (диагонали бисектировыются).

Детальное объяснение (пошагово)

1. Обозначим параллелограмм

• Пусть ABCD — параллелограмм по порядку вершин: AB и CD — противоположные стороны, BC и AD — противоположные стороны.

2. Доказательство равенства и параллельности противоположных сторон

• Так как ABCD — параллелограмм, AB ∥ CD и BC ∥ AD (по определению).
• Рассмотрим треугольники ABC и CDA. Они делят параллелограмм по диагонали AC.
• Углы:
  • ∠ABC — угол между AB и BC. Поскольку AB ∥ CD и BC ∥ AD, угол ∠ABC равен углу ∠CDA (углы, образованные параллельными линиями).
  • ∠ACB — угол между AC и CB; CB ∥ AD, поэтому ∠ACB равен углу ∠CAD.
• Таким образом треугольники ABC и CDA равны по признаку AA (два угла соответственны).
• Соответствующие стороны треугольников: AB ↔ CD, BC ↔ DA, AC ↔ CA.
• Поскольку AC соответствует самой себе (AC = CA), коэффициент подобия равен 1. Следовательно:
  • AB = CD
  • BC = AD

3. Следствия

• Уже из начала доказательства имеем AB ∥ CD и BC ∥ AD.
• Из равенств длин получаем: противоположные стороны равны по длине.
• Также из параллельности противоположных сторон следует, что противоположные углы равны.
• Диагонали параллелограммы пересекаются в серединах: их можно отдельно показать, но это уже следствие общей геометрии параллелограмма.

4. Пример наглядности (необязательно, но полезно)

• Пусть A = (0,0), B = (4,0), D = (1,3). Тогда C = B + D − A = (5,3).
• AB длиной 4; CD — от D к C: длина = 4; AB ∥ CD (обе стороны горизонтальны).
• BC длина √10; AD длина √10; BC ∥ AD.
• Итак, противоположные стороны равны и параллельны.

5. Краткая ремарка

• Обратное утверждение: если в quad есть хотя бы одна пара противоположных сторон параллельна и равна по длине, то эта фигура является параллелограммом (или если обе пары противоположных сторон параллельны — точно параллелограмм).

Итог

• Противолежащие стороны параллелограмма равны по длине и параллельны друг другу: AB = CD, BC = AD, AB ∥ CD, BC ∥ AD.