Противолежащие стороны параллелограмма

Задача: противолежащие стороны параллелограмма — какие свойства и как доказываются. Ключевые утверждения - В любом параллелограмме противоположные стороны параллельны друг другу и равны по длине. - AB ∥ CD и BC ∥ AD. - AB = CD и BC = AD. - Как следствие: противоположные углы равны, диагонали пересекаются в их серединах (диагонали бисектировыются). Детальное объяснение (пошагово) 1) Обозначим параллелограмм - Пусть ABCD — параллелограмм по порядку вершин: AB и CD — противоположные стороны, BC и AD — противоположные стороны. 2) Доказательство равенства и параллельности противоположных сторон - Так как ABCD — параллелограмм, AB ∥ CD и BC ∥ AD (по определению). - Рассмотрим треугольники ABC и CDA. Они делят параллелограмм по диагонали AC. - Углы: - ∠ABC — угол между AB и BC. Поскольку AB ∥ CD и BC ∥ AD, угол ∠ABC равен углу ∠CDA (углы, образованные параллельными линиями). - ∠ACB — угол между AC и CB; CB ∥ AD, поэтому ∠ACB равен углу ∠CAD. - Таким образом треугольники ABC и CDA равны по признаку AA (два угла соответственны). - Соответствующие стороны треугольников: AB ↔ CD, BC ↔ DA, AC ↔ CA. - Поскольку AC соответствует самой себе (AC = CA), коэффициент подобия равен 1. Следовательно: - AB = CD - BC = AD 3) Следствия - Уже из начала доказательства имеем AB ∥ CD и BC ∥ AD. - Из равенств длин получаем: противоположные стороны равны по длине. - Также из параллельности противоположных сторон следует, что противоположные углы равны. - Диагонали параллелограммы пересекаются в серединах: их можно отдельно показать, но это уже следствие общей геометрии параллелограмма. 4) Пример наглядности (необязательно, но полезно) - Пусть A = (0,0), B = (4,0), D = (1,3). Тогда C = B + D − A = (5,3). - AB длиной 4; CD — от D к C: длина = 4; AB ∥ CD (обе стороны горизонтальны). - BC длина √10; AD длина √10; BC ∥ AD. - Итак, противоположные стороны равны и параллельны. 5) Краткая ремарка - Обратное утверждение: если в quad есть хотя бы одна пара противоположных сторон параллельна и равна по длине, то эта фигура является параллелограммом (или если обе пары противоположных сторон параллельны — точно параллелограмм). Итог - Противолежащие стороны параллелограмма равны по длине и параллельны друг другу: AB = CD, BC = AD, AB ∥ CD, BC ∥ AD.