найти все натуральные числа х и у такие 7х+12у=50

Задача: найти все натуральные x и y такие, что 7x + 12y = 50.

Пояснение и решение (пошагово):

1. Уточним условие натуральности

• Пусть натуральные числа = положительные integers (1,2,3,...). В любом случае, если y=0 или x=0, уравнение не выполнится, потому что 50 не делится на 7 и на 12 отдельно. Значит, искомые решения обязательно имеют x>0 и y>0.

2. Найдём решение с помощью модулей

• Рассмотрим уравнение по модулю 7: 12y ≡ 50 (mod 7).
• 12 ≡ 5 (mod 7), 50 ≡ 1 (mod 7). Значит 5y ≡ 1 (mod 7).
• Обратный элемент к 5 по модулю 7 равен 3 (потому что 5·3 = 15 ≡ 1 (mod 7)).
• Отсюда y ≡ 3 (mod 7). То есть y = 3 + 7k, где k целое.

3. Подставим y обратно и найдём x

• 7x = 50 − 12y = 50 − 12(3 + 7k) = 50 − 36 − 84k = 14 − 84k
• x = (14 − 84k) / 7 = 2 − 12k

4. Найдём допустимые значения k

• Чтобы x > 0 и y > 0, нужно:
  • y = 3 + 7k > 0 ⇒ k ≥ 0 (поскольку при k = −1 y = −4, что не допустимо)
  • x = 2 − 12k > 0 ⇒ k ≤ 0
• Следовательно, единственный допустимый k — k = 0.
• При k = 0 получаем x = 2, y = 3.

5. Проверка

• 7·2 + 12·3 = 14 + 36 = 50 — верно.

Ответ: единственное натуральное решение (x, y) = (2, 3).