Найти все натуральные числа х и у такие 7х+12у=50

Задача: найти все натуральные x и y такие, что 7x + 12y = 50. Пояснение и решение (пошагово): 1) Уточним условие натуральности - Пусть натуральные числа = положительные integers (1,2,3,...). В любом случае, если y=0 или x=0, уравнение не выполнится, потому что 50 не делится на 7 и на 12 отдельно. Значит, искомые решения обязательно имеют x>0 и y>0. 2) Найдём решение с помощью модулей - Рассмотрим уравнение по модулю 7: 12y ≡ 50 (mod 7). - 12 ≡ 5 (mod 7), 50 ≡ 1 (mod 7). Значит 5y ≡ 1 (mod 7). - Обратный элемент к 5 по модулю 7 равен 3 (потому что 5·3 = 15 ≡ 1 (mod 7)). - Отсюда y ≡ 3 (mod 7). То есть y = 3 + 7k, где k целое. 3) Подставим y обратно и найдём x - 7x = 50 − 12y = 50 − 12(3 + 7k) = 50 − 36 − 84k = 14 − 84k - x = (14 − 84k) / 7 = 2 − 12k 4) Найдём допустимые значения k - Чтобы x > 0 и y > 0, нужно: - y = 3 + 7k > 0 ⇒ k ≥ 0 (поскольку при k = −1 y = −4, что не допустимо) - x = 2 − 12k > 0 ⇒ k ≤ 0 - Следовательно, единственный допустимый k — k = 0. - При k = 0 получаем x = 2, y = 3. 5) Проверка - 7·2 + 12·3 = 14 + 36 = 50 — верно. Ответ: единственное натуральное решение (x, y) = (2, 3).