решение

Ниже решение с подробным разбором правил и обоснованием. Я дам корректированные варианты предложений и поясню, почему именно так пишем.

Ключевые правила, которые применяем

• По-зимнему, по-прежнему, по-старому, по-русски и т. п. – это составные наречия/прилагательные, образованные с приставкой по- и последующим словом; пишутся через дефис.
• Когда предлог по соединяет существительное с прилагательным в сочетании, обозначающее направление или место (по старому следу, по этому мостику и т. п.), то пишем два слова: по старому следу, по этому мостику.
• Соединение "поэтому" пишется как одно слово и служит союзом-следствием.
• Части после «не» с ярко-формами часто пишутся слитно: неярко, неостановливаясь и т. п. В тексте встречаются оба варианта с разной семантикой, но здесь запомните: неярко = не + ярко (слитно).

Задача по каждому пункту

1. 1 предложение

• Правильно: Солнце светило по-зимнему неярко. Обоснование: образовано по- + зимнему; это составное наречие, образующее образ действия «как светило»; далее — неярко (слитно) означает «не ярко».
• Продолжение: По-зимнему небу плыли снеговые облака. Обоснование: здесь фраза «по-зимнему небу» означает «на зимнем небе»; опять же сочетание по- + прилагательное через дефис.

Итого, корректный вариант:

• Солнце светило по-зимнему неярко. По-зимнему небу плыли снеговые облака.

2. 2 предложение

• Правильно: Когда лыжники вышли на место прежней стоянки, там всё было по-старому. Обоснование: выражение «по-старому» употребляется как наречие образа действия и пишется через дефис; однако здесь речь о месте/ситуации — поэтому «по-старому» в значении «как прежде».
• Далее: Лыжники шли по старому следу, проложенному многими группами. Обоснование: «по старому следу» — сочетание предлог + существительное с прилагательным; здесь без дефиса: два слова.

Итого, корректный вариант:

• Когда лыжники вышли на место прежней стоянки, там всё было по-старому. Лыжники шли по старому следу, проложенному многими группами.

3. 3 предложение

• Правильно: Солнце садилось, но туристы по-прежнему шли, не останавливаясь. Обоснование: «по-прежнему» образовано по- + прежнему и пишется через дефис; здесь обозначает, что туристы продолжали путь «как и раньше». Примечание: допустимо também написать «неостанавливаясь» (одним словом) в стилях, но здесь лучше оставить participle в деепричастии: «не останавливаясь» (разделено).
• Далее: По прежнему пути идти было легче. Здесь корректнее: По-прежнему пути идти было легче? Нет: смысл — идти по обычному, знакомому пути. Правильно: По прежнему пути идти было легче. Однако чаще пишут с предлогом «по» + существительное без дефиса: "по прежнему пути" (без дефиса) — так и даём. Итог: корректно будет: По прежнему пути идти было легче.

Итого, корректный вариант:

• Солнце садилось, но туристы по-прежнему шли, не останавливаясь. По прежнему пути идти было легче.

4. 4 предложение

• Правильно: Шли дожди, поэтому река разлилась. Обоснование: союз «поэтому» пишется слитно как одно слово.
• Далее: По этому мостику местные жители давно уже не ходят. Обоснование: это предлог + указательное место (по этому мостику) — пишем двумя словами, без дефиса.

Итого, корректный вариант:

• Шли дожди, поэтому река разлилась. По этому мостику местные жители давно уже не ходят.

5. 5 предложение

• Правильно: Охотники устали, и потому с удовольствием заночевали у лесника. Обоснование: «и потому» — сочетание двух слов, употребляется как союз; «потому» пишется отдельно, а союз «и» ставит запятую.
• Далее: Мы шли по тому берегу реки, по которому проходила дорога. Обоснование: «по тому берегу» — предлог + существительное; «по которому» — относительное местоимение, придаточное предложение, общий оборот — всё пишется без дефиса.

Итого, корректный вариант:

• Охотники устали, и потому с удовольствием заночевали у лесника. Мы шли по тому берегу реки, по которому проходила дорога.

Кратко:

• По-зимнему, по-прежнему, по-старому, по русски и др. пишутся через дефис, если образуют составные наречия/прилагательные.
• По старому следу, по этому мостику — два слова, без дефиса.
• Поэтому, поэтому — одно слово.
• Неярко — слитно (не + ярко).
• По-прежнему — слитно? Нет, дефис: по-прежнему.
• Потому/потому что: правильно «потому» как часть сочетания "и потому" — два слова, если используется как союзная конструкция.

Если хочешь, могу привести ещё больше примеров по тем же правилам или проверить твои варианты из задания построчно.