решение

Ниже решение задачи по предположению темы упражнения: слитное/раздельное написание приставки по- и союзного слова поэтому/потому, а также формы с по-зимнему, по-старому и т. п. Я заполнил пробелы в каждом предложении и дал краткие пояснения к выбору написания.

1. Солнце светило по-зимнему неярко.

• Почему так: по-зимнему — это наречие образованное от прилагательного «зимний» с приставкой по-, пишется через дефис. Неярко — отрицательное наречие к ярко, пишется слитно как одно слово.

2. Когда лыжники вышли на место прежней стоянки, там всё было по-старому.

• По-старому — после предлога по с прилагательным образуется сочетание, обычно пишется через дефис, когда выражает значение «в старом порядке/по старому способу».

3. Лыжники шли по старому следу, проложенному многими группами.

• По старому следу — здесь «по» — предлог к существительному фразе «старому следу», то есть две слова: по + старому. След является существительным, к которому относится прилагательное “старому” в общем обороте; союзов и дефиса здесь нет.

4. Шли дожди, поэтому река разлилась. По этому мостику местные жители давно уже не ходят.

• Поэтому — союзное слово, пишется слитно как одно слово. По этому мостику — предлог по + указательное местоимение/прилагательное «этому» + существительное «мостику», пишется раздельно (два слова: по этому мостику).

5. Охотники устали и потому с удовольствием заночевали у лесника. Мы шли по тому берегу реки, по которому проходила дорога.

• И потому — сочетание с союзом «потому» (часть конструкции «и потому…») обычно пишется раздельно: “и потому” (хотя в разговорной речи встречается и "и потому" как две отдельные части). По тому берегу — предлог по + указательное «тому», снова раздельно; по которому — союзно-относительное местоимение, пишется как два слова: по которому.

Кратко резюме правил, применённых к этим предложениям:

• По-зимнему, по-прежнему и т. п. пишутся через дефис, если приставка по- образует новое значение (наречие) к прилагательному/существительному слову: по-зимнему, по-старому, по-прежнему.
• По старому следу, по этому мостику, по тому берегу и т. п. — это обычные сочетания предлог + существительное/прилагательное; пишутся раздельно.
• Потома/поэтому/потому — потому/потому что и их формы зависят от роли в предложении. В данных примерах «поэтому» — одно слово как союз, а «по этому»/«по тому» — раздельно.

Если хочешь, могу перепроверить точный текст твоего изображения и дать точные варианты именно под твой вариант задания. Также могу привести дополнительные примеры и объяснить правила ещё более подробно.