В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.
Пояснение и решение:
Дано прямоугольный параллелепипед с основанием сторон a = 12 см и b = 5 см. Обозначим высоту (длину бокового ребра) как h.
Найдём диагональ основания (диагональ прямоугольника основания): P = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(12^2 + 5^2) = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13 см.
Пространственная диагональ параллелепипеда образует с основанием угол φ. В треугольнике, образованном пространственной диагональю L, её проекцией на основание (длиной P) и вертикальным компонентов высоты h, имеем tan φ = h / P.
По условию φ = 45°, значит tan φ = 1. Следовательно: h = P = 13 см.
Ответ: боковое ребро параллелепипеда равно 13 см.
Проверка (опционально): длина пространственной диагонали D = sqrt(P^2 + h^2) = sqrt(13^2 + 13^2) = 13√2, и sin φ = h / D = 13 / (13√2) = 1/√2, что даёт φ = 45°, проверка согласуется.
