(x+1)/(x-3)<3

Задача: (x+1)/(x-3) < 3, при условии, что x ≠ 3 (поскольку знаменатель не может быть нулем).

Пошаговое решение и объяснения:

1. Область допустимых значений

• x ≠ 3.

2. Перенесём правую часть в левую и сведём к одному дробному выражению

• (x+1)/(x-3) - 3 < 0.

3. Приведём к общему знаменателю

• [(x+1) - 3(x-3)] / (x-3) < 0
• Вычислим числитель: x+1 - 3x + 9 = -2x + 10 = 10 - 2x.

Значит неравенство эквивалентно

• (10 - 2x) / (x - 3) < 0.

4. Упростим множитель

• Можно вынести 2: 2*(5 - x)/(x - 3) < 0.
• Поскольку 2 > 0, знак дроби определяется выражением (5 - x)/(x - 3) < 0.

5. Анализ знаков

• Ключевые точки: x = 5 (числитель = 0) и x = 3 (знаменатель = 0, недопустимо).
• Разбиваем числовую ось на интервалы: (-∞, 3), (3, 5), (5, ∞).

Проверим знак на каждом интервале:

• На x = 0 (интервал (-∞, 3)): (5 - 0)/(0 - 3) = 5/(-3) < 0 → условие выполняется.
• На x = 4 (интервал (3, 5)): (5 - 4)/(4 - 3) = 1/1 > 0 → условие не выполняется.
• На x = 6 (интервал (5, ∞)): (5 - 6)/(6 - 3) = (-1)/3 < 0 → условие выполняется.

6. Итог

• Неравенство выполняется на интервалах (-∞, 3) и (5, ∞).
• Исключаем точки x = 3 (недопустимо) и x = 5 (при x = 5 левая часть равна 3, не подходит под "< 3").

Ответ: x ∈ (-∞, 3) ∪ (5, ∞), то есть x < 3 или x > 5.

Проверка на примерах:

• x = 0: (0+1)/(0-3) = -1/3 < 3, условие верно.
• x = 4: (4+1)/(4-3) = 5, 5 < 3 ложно, не входит в решение.
• x = 6: (6+1)/(6-3) = 7/3 ≈ 2.33 < 3, верно входит в решение.