(x+1)/(x-3)<3

Задача: (x+1)/(x-3) < 3, при условии, что x ≠ 3 (поскольку знаменатель не может быть нулем). Пошаговое решение и объяснения: 1) Область допустимых значений - x ≠ 3. 2) Перенесём правую часть в левую и сведём к одному дробному выражению - (x+1)/(x-3) - 3 < 0. 3) Приведём к общему знаменателю - [(x+1) - 3(x-3)] / (x-3) < 0 - Вычислим числитель: x+1 - 3x + 9 = -2x + 10 = 10 - 2x. Значит неравенство эквивалентно - (10 - 2x) / (x - 3) < 0. 4) Упростим множитель - Можно вынести 2: 2*(5 - x)/(x - 3) < 0. - Поскольку 2 > 0, знак дроби определяется выражением (5 - x)/(x - 3) < 0. 5) Анализ знаков - Ключевые точки: x = 5 (числитель = 0) и x = 3 (знаменатель = 0, недопустимо). - Разбиваем числовую ось на интервалы: (-∞, 3), (3, 5), (5, ∞). Проверим знак на каждом интервале: - На x = 0 (интервал (-∞, 3)): (5 - 0)/(0 - 3) = 5/(-3) < 0 → условие выполняется. - На x = 4 (интервал (3, 5)): (5 - 4)/(4 - 3) = 1/1 > 0 → условие не выполняется. - На x = 6 (интервал (5, ∞)): (5 - 6)/(6 - 3) = (-1)/3 < 0 → условие выполняется. 6) Итог - Неравенство выполняется на интервалах (-∞, 3) и (5, ∞). - Исключаем точки x = 3 (недопустимо) и x = 5 (при x = 5 левая часть равна 3, не подходит под "< 3"). Ответ: x ∈ (-∞, 3) ∪ (5, ∞), то есть x < 3 или x > 5. Проверка на примерах: - x = 0: (0+1)/(0-3) = -1/3 < 3, условие верно. - x = 4: (4+1)/(4-3) = 5, 5 < 3 ложно, не входит в решение. - x = 6: (6+1)/(6-3) = 7/3 ≈ 2.33 < 3, верно входит в решение.