разложи на множители v³ - s²v - sv² + s³
Задача: разложить на множители v^3 - s^2 v - s v^2 + s^3.
Пошагово с объяснениями:
Группируем члены так, чтобы вынести общий множитель, содержащий (v - s): v^3 - s^2 v - s v^2 + s^3 = (v^3 - s v^2) + (- s^2 v + s^3)
Выносим общий множитель из каждой группы: v^3 - s v^2 = v^2(v - s)
- s^2 v + s^3 = - s^2(v - s)
Поэтому сумма равна: (v^3 - s v^2) + (- s^2 v + s^3) = (v^2 - s^2)(v - s)
Или сразу (v - s)(v^2 - s^2).
Воспользуемся разностью квадратов: v^2 - s^2 = (v - s)(v + s). Тогда получаем полный разложение: (v - s)(v^2 - s^2) = (v - s)(v - s)(v + s) = (v - s)^2 (v + s)
Ответ: (v - s)^2 (v + s)
Проверька: разложение даёт v^3 - s^2 v - s v^2 + s^3 при раскрытии скобок.
Обсуждение
2 сообщенияразложи на множители 27 - 3x - x² + x³ . (каждый многочлен разложи в порядке уменьшения x)
Чтобы разложить на множители выражение \(27 - 3x - x^2 + x^3\), сначала перепишем многочлен в порядке уменьшения степени \(x\):
\[ x^3 - x^2 - 3x + 27 \]
Теперь попробуем сгруппировать и найти множители.
Группировка: Сначала можно попытаться сгруппировать по два элемента: \[ (x^3 - x^2) + (-3x + 27) \]
Вынесение общего множителя: Из первой группы \(x^3 - x^2\) можно вынести \(x^2\), а из второй группы \(-3x + 27\) — \(-3\): \[ x^2(x - 1) - 3(x - 9) \]
Теперь перепишем выражение: \[ x^2(x - 1) - 3(x - 9) \]
Сравнение: Здесь видим, что у нас неудачное разложение, попробуем другой подход.
Поиск корней у многочлена: Применим метод подбора. Найдем, возможно, рациональные корни. Проверим \(x = 3\): \[ 3^3 - 3^2 - 3 \cdot 3 + 27 = 27 - 9 - 9 + 27 = 36 \quad (не корень) \]
Пробуем другие значения \(x = -3\): \[ (-3)^3 - (-3)^2 - 3(-3) + 27 = -27 - 9 + 9 + 27 = 0 \quad (корень!) \]
Если \(x = -3\) корень, значит \(x + 3\) будет множителем.
Деление многочлена: Используем деление многочлена для нахождения оставшегося множителя \(x^3 - x^2 - 3x + 27\) на \(x + 3\).
Выполним деление: \[ x^3 - x^2 - 3x + 27 \div (x + 3) \]
В результате деления будет \(x^2 - 4\).
Разложение оставшегося выражения: Теперь данное выражение \(x^2 - 4\) также можно разложить как разность квадратов: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \]
Окончательное разложение: Итоговое разложение многочлена: \[ x^3 - x^2 - 3x + 27 = (x + 3)(x - 2)(x + 2) \]
Таким образом, ответ: \[ (x + 3)(x - 2)(x + 2) \]
