934. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А равно 12 см, AB = 5 см, ∠D = 45°. Найдите длины векторов BD, CD и AC.
Решение
- Пусть AD = 12. Раз основание AD лежит горизонтально, поместим точки:
- A = (0, 0)
- D = (12, 0)
Так как трапеция — прямоугольная, боковая сторона AB перпендикулярна основанию AD и AB = 5, значит:
- B = (0, 5)
- Поскольку BC параллельно AD, отрезок BC горизонтален и имеет ту же высоту, что и AB. Следовательно, C имеет координаты
- C = (x, 5)
- Угол ∠D = 45° — это угол между сторонами DA и DC в вершине D. Векторы из D:
- DA = A − D = (−12, 0)
- DC = C − D = (x − 12, 5)
Косинус угла между ними: cos ∠D = (DA · DC) / (|DA| |DC|) = [ (−12)(x − 12) + 0·5 ] / (12 √[(x − 12)² + 5²]) = (12 − x) / √[(x − 12)² + 25]
Так как ∠D = 45°, cos ∠D = √2/2. Откуда: (12 − x) / √[(x − 12)² + 25] = √2/2
Обозначим t = 12 − x > 0. Тогда t / √(t² + 25) = √2/2. Возведение в квадрат даёт t² = 25, значит t = 5. Следовательно x = 12 − 5 = 7.
Итого C = (7, 5).
- Найдём длины нужных векторов (разности координат):
BD: вектор BD = D − B = (12, 0) − (0, 5) = (12, −5). Длина: |BD| = √(12² + (−5)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.
CD: вектор CD = D − C = (12, 0) − (7, 5) = (5, −5). Длина: |CD| = √(5² + (−5)²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2.
AC: вектор AC = C − A = (7, 5) − (0, 0) = (7, 5). Длина: |AC| = √(7² + 5²) = √(49 + 25) = √74.
Ответ:
- |BD| = 13
- |CD| = 5√2
- |AC| = √74
Дополнительно можно указать координаты векторов: BD = (12, −5), CD = (5, −5), AC = (7, 5).
