√0,58(7)

Задача: √0,58(7)

1. Что означает запись 0,58(7)?

• Это повторяющаяся десятичная дробь: 0.587777... где цифра 7 повторяется бесконечно.

2. Преобразование в дробь Пусть x = 0,587777...

• Умножим на 100: 100x = 58,7777...
• вычтем x: 100x - x = 58,7777... - 0,587777... = 58,19
• Значит 99x = 58,19, отсюда x = 58,19/99.

Превратим в цельную дробь без десятичных: 58,19 = 5819/100, значит x = (5819/100)/99 = 5819/9900. Это можно сократить на 11: x = 529/900.

Итак, 0,58(7) = 529/900.

3. Вычисление корня √(0,58(7)) = √(529/900) = √529 / √900 = 23/30.

4. Проверка (23/30)^2 = 529/900 = 0,587777..., что совпадает с исходной дробью.

Ответ: 23/30 ≈ 0,766666...