Реши

Задача говорит: докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом при данных условиях (а) и (б). Пояснение: в параллелограмме противоположные стороны параллельны. Для доказательства достаточно показать, что AB ∥ CD и BC ∥ AD. Part 1. Условия (а) У нас даны: - ∠BAC = ∠ACD - ∠BCA = ∠DAC 1) Из равенства ∠BAC и ∠ACD следует, что углы, которые стороны AB и CD образуют с диагональю AC, равны. То есть угол между AB и AC равен углу между AC и CD. Это означает: AB ∥ CD. (Если две прямые образуют с общей прямой AC одинаковые углы, они параллельны.) 2) Из равенства ∠BCA и ∠DAC следует, что углы между BC и CA равны углам между DA и AC. То есть BC ∥ AD. 3) В кубе, где AB ∥ CD и BC ∥ AD, выполняется условие параллелограмма. Следовательно, ABCD — параллелограмм. Итак, при условиях (а) ABCD является параллелограммом. Part 2. Условия (б) У нас даны: - AB ∥ CD - ∠A = ∠C 1) Так как AB ∥ CD, углы, связанные с этими параллельными сторонами, можно «перекладывать» вдоль transversal. Например: - ∠A = ∠DAB. Поскольку AB ∥ CD, угол DAB равен углу ADC. - ∠C = ∠BCD. Поскольку AB ∥ CD, угол BCD равен углу CBA. 2) Из ∠A = ∠C получаем: ∠ADC = ∠CBA. 3) Эти два угла являются соответственно углами между парами линий AD–DC и CB–BA, где AB ∥ CD. Следовательно, линии AD и BC образуют одинаковый угол с параллельной линией AB (или CD). Это означает AD ∥ BC. 4) Имеем AB ∥ CD и AD ∥ BC — обе пары противоположных сторон параллельны. Значит ABCD — параллелограмм. Итак, при условиях (б) ABCD тоже является параллелограммом. Итого: - а) из двух равенств углов следует AB ∥ CD и BC ∥ AD, значит параллелограмм. - б) из AB ∥ CD и равенства углов ∠A и ∠C следует BC ∥ AD, значит параллелограмм.