2. Перед походом за покупками у Матроскина и Шарика денег было поровну. Матроскин израсходовал в 8 раз меньше денег, чем Шарик, а осталось у него в 9 раз больше денег, чем у Шарика. Доказать, что изначально количество денег у Матроскина делилось на 71 (имеется в виду, что у Матроскина и Шарика во всех ситуациях было целое количество денег).

Задача по Algebra, класс 10. Пошаговое решение с пояснениями. Условия в пользу записываем так: - Пусть изначально у Матроскина и у Шарика было одинаковое количество денег: A. - Пусть Шарик потратил S, тогда Матроскин потратил S/8 (то есть в 8 раз меньше, чем Шарик). - После расходов осталось: у Матроскина A − S/8, у Шарика A − S. - Условие задачи: A − S/8 = 9 (A − S). Решение: 1) Запишем уравнение по условиям: A − S/8 = 9A − 9S. 2) Перенесём всё в одну сторону: 0 = 9A − 9S − A + S/8 => 0 = 8A − 9S + S/8. 3) Преобразуем, избавившись от дробей, умножив на 8: 0 = 64A − 72S + S => 64A = 71S. 4) Отсюда A = (71/64) S. Чтобы A было целым числом, S должен быть кратен 64. Пусть S = 64k, где k — целое положительное число. 5) Тогда A = 71k. Значит изначальные деньги у обоих равны 71k, и, в частности, делятся на 71. 6) Проверка (для наглядности): - Матроскин потратил m = S/8 = 64k/8 = 8k. - После расходов остаётся: Матроскин — 71k − 8k = 63k; Шарик — 71k − 64k = 7k. - Соотношение: 63k = 9 · 7k, что верно. Вывод: Изначальное количество денег у Матроскина всегда кратно 71 (оно равно 71k, где k — положительное целое). Это и требовалось доказать.