2. Перед походом за покупками у Матроскина и Шарика денег было поровну. Матроскин израсходовал в 8 раз меньше денег, чем Шарик, а осталось у него в 9 раз больше денег, чем у…

Задача по Algebra, класс 10. Пошаговое решение с пояснениями.

Условия в пользу записываем так:

• Пусть изначально у Матроскина и у Шарика было одинаковое количество денег: A.
• Пусть Шарик потратил S, тогда Матроскин потратил S/8 (то есть в 8 раз меньше, чем Шарик).
• После расходов осталось: у Матроскина A − S/8, у Шарика A − S.
• Условие задачи: A − S/8 = 9 (A − S).

Решение:

1. Запишем уравнение по условиям: A − S/8 = 9A − 9S.

2. Перенесём всё в одну сторону: 0 = 9A − 9S − A + S/8 => 0 = 8A − 9S + S/8.

3. Преобразуем, избавившись от дробей, умножив на 8: 0 = 64A − 72S + S => 64A = 71S.

4. Отсюда A = (71/64) S. Чтобы A было целым числом, S должен быть кратен 64. Пусть S = 64k, где k — целое положительное число.

5. Тогда A = 71k. Значит изначальные деньги у обоих равны 71k, и, в частности, делятся на 71.

6. Проверка (для наглядности):

   • Матроскин потратил m = S/8 = 64k/8 = 8k.
   • После расходов остаётся: Матроскин — 71k − 8k = 63k; Шарик — 71k − 64k = 7k.
   • Соотношение: 63k = 9 · 7k, что верно.

Вывод: Изначальное количество денег у Матроскина всегда кратно 71 (оно равно 71k, где k — положительное целое). Это и требовалось доказать.