х(х-5)/(х+1) ≤0 Методом интервалов

Решение методом интервалов для неравенства: x(x−5)/(x+1) ≤ 0

1. Домен

• Выражение определено при x ≠ -1.

2. Нули числителя (точки пересечения с осью x)

• x(x−5) = 0 ⇒ x = 0, x = 5. В этих точках значение выражения равно 0 (если знаменатель не равен нулю), поэтому они входят в решение.

3. Точки разрыва знаменателя

• x + 1 = 0 ⇒ x = -1. И этот пункт исключаем из решения.

4. Разбиение по критическим точкам

• Интервалы: (-∞, -1), (-1, 0), (0, 5), (5, ∞).

5. Знаки на интервалах (подставляем тестовые значения)

• (-∞, -1): возьмём x = -2 → f(-2) = (-2)(-7)/(-1) = 14/(-1) < 0
• (-1, 0): возьмём x = -1/2 → f(-1/2) = (-1/2)(-5.5)/(0.5) > 0
• (0, 5): возьмём x = 1 → f(1) = (1)(-4)/2 < 0
• (5, ∞): возьмём x = 6 → f(6) = (6)(1)/7 > 0

6. Формирование решения

• Нас интересуют интервалы с f(x) ≤ 0 и точки, где равно нулю.
• f(x) < 0 на (-∞, -1) и (0, 5); и f(x) = 0 в точках x = 0 и x = 5.
• Исключаем x = -1 (не входит в домен).

Итого решение: (-∞, -1) ∪ [0, 5]